热环境下弹性边界约束FGM圆环板面内振动特性分析

吕朋　杜敬涛　邢雪　刘志刚

摘要：采用一种改进傅立叶级数方法建立了热环境下弹性边界约束FGM圆环薄板面内振动特性分析模型。基于平面弹性理论应力-应变关系推导了热环境下FGM圆环板面内振动能量原理方程，其中，弹性边界条件通过边界弹簧沿边界分布进行模拟，任意边界条件可以相应设置刚度系数获得。为了改善面内耦合位移场函数在径向边界处连续微分特性，圆环板面内位移径向分量构造为标准傅里叶级数与边界光滑多项式的叠加形式。结合Rayleigh-Ritz步驟，热环境下弹性边界约束FGM圆环板结构模态信息可以通过求解一个标准特征值问题而全部得到。随后，通过给出相关数值算例对所建立模型进行了验证，并分析了复杂边界约束情况下圆环板结构面内振动特性的影响。在此基础上，继续探讨并研究了热环境条件、功能梯度材料指数、弹性边界约束刚度等重要参数对FGM圆环薄板面内振动特性的影响规律，为人们全面理解此类复杂结构动力学特性提供了有效的模型基础和分析手段。

关键词：弹性振动；FGM圆环板；面内振动；热环境；弹性边界约束

引言

近年来，随着材料科学的快速发展，功能梯度材料（FGM）作为一种新型材料，因其材料成分连续分布，能够有效改善外部机械或热载荷作用下应力集中情况，在航空航天、核能发电、内燃机等领域呈现出良好应用前景。与此同时，环形薄板作为一种重要的结构形式，广泛存在于航空航天、船舶工业、车辆工程等众多工程领域，深刻理解其振动特性是开展相关复杂系统优化设计的前提和基础。

弹性薄板结构按照振动位移方向可以分为面外（弯曲）振动和面内振动。弯曲振动固有频率相对较低，更容易被激起，许多学者围绕其开展了大量的工作。相比而言，针对薄板面内振动的研究还不够充分。最近的研究表明面内振动在振动能量传输、三明治板等方面具有重要作用，因此，板结构面内振动重新引起了人们的研究兴趣。在弹性板结构面内振动研究中，关于矩形板的研究更为全面突出，而圆环板面内振动相对没有那么丰富。

对于普通各向同性材料板而言，围绕FGM薄板振动的研究多是关注面外振动或三维振动，其面内振动的研究更为罕见。Efraim利用一阶剪切理论和运动方程计算了变厚度FGM圆环板的振动精确解。Allahverdizadeh研究了功能梯度薄圆板的非线性自由和强迫振动。wang和Shi基于一阶剪切变形理论和里兹法研究了一般边界下功能梯度圆板、环板和扇形板的振动。Gupta使用高阶剪切变形理论研究了不同边界条件约束下功能梯度板的振动特征。Liu研究了材料沿面内梯度变化的矩形板振动问题。Hosseini利用微分求积法（DQM）研究了材料沿径向梯度变化的圆板、环板和扇形板在弹性边界下面内屈曲和自由振动，并利用一阶剪切理论分析了材料沿厚度梯度变化的圆板和环板在经典边界条件下面内和面外振动。

由于FGM在热环境下具有显著优势，因而FGM板结构被广泛应用在高温环境中，研究其在温度影响下的振动特性将具有重要意义，围绕这方面一些学者也开展了相关工作。Yang基于高阶剪切理论，结合一阶微分求积法、伽辽金法和模态叠加法分析了热环境下功能梯度板自由和受迫振动。Prakash使用有限元法计算了功能梯度圆板的非对称振动与热弹性稳定性，其中材料分布梯度和温度场分布均沿厚度方向。Kim利用三阶变形理论和瑞利-里兹法研究了在热环境中功能梯度矩形板的振动特性，并分析了材料成分、几何参数和温度分布对振动特性的影响。Li用切比雪夫多项式表示振动三维振动位移，结合里兹法得到经典边界条件下功能梯度矩形板三维振动，并研究了边界约束、温度场和FGM体积分数对振动特性的影响。Malekzadeh利用微分求积法求解平衡运动方程，基于一阶剪切变形理论分析了热环境下材料属性沿厚度渐变的功能梯度圆拱的面内自由振动，并在之后基于三位弹性理论研究了热环境下功能梯度厚圆环板的三维振动。Shahrjerdi使用二阶剪切理论和能量法分析了利用太阳能的功能梯度板的振动，并与高阶剪切变形理论进行了对比。Shi和Dong利用三维弹性理论和切比雪夫里兹法分析了热环境混合边界条件下功能梯度圆环板自由振动。Attial利用4种不同板理论研究了不同热环境下功能梯度矩形板振动问题。滕兆春和蒲育基于二维弹性理论和Hamilton原理，利用微分求积法计算了FGM圆环板的面内振动，但其仅关注了经典边界。综上研究可以发现，关于热环境下FGM圆环板结构振动问题的现有分析主要局限于经典边界约束情况，大大限制了人们对于复杂边界约束的影响形成更为全面的认识。

基于现有研究的不足，本文采用一种改进傅里叶级数构建面内振动位移场函数，结合能量原理对FGM圆环板在热环境中面内振动行为进行描述。通过在内外圈边界施加径向和切向弹簧来模拟边界条件，所有经典边界条件可以通过设置相应刚度系数而统一得到。结合瑞利-里兹步骤，FGM圆环薄板面内模态参数可以通过求解标准的矩阵特征值问题而获得。随后给出相关算例对本文模型进行验证，并分析了FGM材料属性沿圆环板径向梯度分布、圆环板内外边界处于不同的温度环境中，温度场沿经向分布等因素对面内模态特性的影响。