巧用直观 建构概念

张秀琴

[摘 要]教学“认识因数”时从直观的动手操作活动切入，可有效降低因数的抽象性，让学生经历从形象到抽象的过程。同时，将因数和乘除法、数轴联系起来，使得因数的本质更突出，教学也更为有效。

[關键词]因数；数轴；数数；概念；感知；实践；整除

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）02-0042-01

数学教学中，“直观”发挥了不可估量的助推作用，它让数学概念“更容易被掌握”，让理性思考“更有效率”，是学生学习的好帮手。

一、初步感知，引入课题

师：这里有一串钢珠，如果一颗一颗地数，每次数几颗钢珠？一共有多少颗钢珠？

生1：每次数1颗，一共有12颗。我认为一颗一颗地数太麻烦了。

生2：我认为每次数1颗最可靠，不论钢珠总数是多少，都能一颗不漏地数完。

师：那么每次数几颗，若干次后也能刚好数完呢？

生3：每次数2颗，6次正好数完。

生4：还可以每次数3颗，这样4次就能数完。

师：通过操作，我们发现，只有以2，3，4，6作为每份数，才可以在若干次内恰好数完12。这几个数与12有着特殊的关联，它们被统称为12的因数。因数本义指的是乘法计算中的乘数和被乘数，后来引申为能够整除某个数的数。因此，因数必须在整数的范围内讨论。（板书课题：认识因数）

在“数钢珠”的操作活动中，学生将“钢珠总数”作为目标数，“每次数的颗数”设置为“目标数的因数”，“以该因数为标准去数，能否在若干次后刚好数完”是判定“每次数的颗数”是否是目标数的因数的准则，“每次数的颗数”能有多少种设置，目标数的因数就有多少个。将数学概念与数数的关键环节一一对应起来，降低了新知的难度，使抽象的“因数”变得形象直观，易于学生理解，从而建立起正确的因数概念。

二、探索因数与乘除法的关系

师：因为4×6=24，所以4是24的因数。这个命题是真的还是假的？

生1：真命题。4×6=24，说明6个4是24，24颗钢珠，每次数4颗，6次正好数完。

师：那么6是24的因数吗？

生2：是。因为4×6=24，24÷4=6，24÷6=4。

师：依据乘法算式“4×6=24”，我们可以知道4和6分别是24的两个因数。这样的乘法算式你们还能找出哪些？

师：这样乘法算式太多了，你能用一个式子来统一代表它们吗？

生3：可以用除法代数式来描述，比如c÷a=b，说明a和b都是c的因数。代数式中的字母可以代表任何符合条件的数，非常方便。

生4：用乘法代数式也可以，比如a×b=c，其中a和b都是c的因数。

师：“数钢珠”让我们深刻认识到因数就是那些可以把整体按这个标准一份份拆开的单位数，字母则将这种关系用乘法或者除法算式表现出来，基于乘法交换律，互换两个乘数的位置，结果不变，所以份数和每份数都是总数的因数。

“因数”描述和反映的是整数之间的非线性关系，这种“关系”是隐形的，没有大小关系那样直观，脱离了算式后更加抽象，而“数钢珠”的操作活动让这种关系富有质感，便于识别记忆，易于理解。

三、研究方法，完善学制

师：28的因数中，最大的是哪个？最小的是哪个？

生1：最小的是1，最大的是它本身，即28。

（多媒体软件显示数轴，闪现1和28两个坐标点）

师：28如果还有别的因数，只能出现在1和28两个坐标点之间，并由这两个点不断向中间靠近。

生2：由1和28这两个端点同时向中间缩小范围，下一对因数是2和14。

师：28的下一个因数是3吗？

生3：不是，因为3不能被28整除。

生4：继续看4。28÷4=7，所以28的下一对因数是4和7。

师：如果4和7之间还存在28的因数，应该考察谁？

生5：5和6，只可惜它们都不是。

利用数轴探寻因数，学生能够获得物象依托，这种物象来自于数形的完美结合，将抽象的数域投射成具体的物理空间，它使得学生在找寻“因数”的过程中更具方向感和参照物。通过数轴推演，学生很容易就发现：一个数一定存在它本身和1这两个因数，然后以这两个数作为坐标基点，不断向中间收紧，因数会成对出现，并且分居中点两侧。

纵观这节课，不难发现，将因数与以前学过的乘除法联系起来，用数钢珠、代数式表达、坐标推演等多种直观方法教学，让学生本能化接受因数概念，以小见大，教学效果更好。

（责编 吴美玲）endprint