严加审查 巧施妙法

陈学俊

基本不等式作为唯一一个用来重点研究的不等式，其重要性不言而喻，是高考的一个重要考点，更是求函数最值的一个重要工具.运用基本不等式求最值时，要严加审查基本不等式成立的三个条件：一正二定三相等.如若忽略了其中任何一个条件，都有可能导致解题错误.此外，在解题时，我们经常会碰到不便于直接运用基本不等式的情况，可以尝试对题中式子进行一些巧妙的转化与变形.

一、化负为正

目标式有着明显的能运用基本不等式的结构特征，但含未知数的项为负值，此时我们需要“化负为正”；而且一般是要求最大值，正好满足添加负号后的基本不等式.

例1 f求（x）=1+lg_x+1/lg_x（0x、lg_xx<0，不满足基本不等式使用时各项必须是正数这一条件，因此不能直接运用基本不等式，可以加上负号将其中的关键项变为正值.

解 因为Oxxx>o，-1/lg_x>0.

需要注意的是，添加负号时必须保持整体值的不变，不能盲目地追求正值；另外，由于添加了负号，实际上基本不等式只能求最大值，最小值需要另谋他法.

二、巧凑定值

审查完正负性，我们需要考虑“定”，也就是其“和”或“积”必须为定值.要不然就会从一个未定的量转化为另一个未定的量，成为毫无意义的操作.当“和”或“积”不是定值时，我们可以将含未知数的项进行拼凑，凑出定值来，

例2 已知0

思路分析 易知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数.

解法1 因为o0，

所以y=（1-2x）=1/2·2x·（1-2x）≤1/2·[（2x+（1-2x））/2]²=1/8， （利用了ab≤（（a+b）/2）² ）

当且仅当2x=1-2x，即x=1/4时，取得等号，

所以当x=1/4时，函数y取得最大值1/8.

解法2 因为o0，

所以y=x（1-2x）=2x·（1/2-x）≤2·[（x+（1/2-x）/2）]²=1/8，

当且仅当x=1/2-x，即x=1/4时，取得等号.

所以当x=1/4时，函数y取得最大值1/8，

例3 已知x>0，y>o，且1/x十4/y=1，求x+y的最小值，

解法1

解法2

三、遇分则离

1.配分了，离分式

对于分子次数比分母高的分式，可先对分子进行配凑，使之出现与分母相同的项，然后分離得到可用基本不等式求解的结构.

例4 求y=（x²-2x+5）/（x-1） （x>1）的最小值.

思路分析可先将分子配凑出含有x-1的项，再将其分离.

2.除分了，离分母

对于分母次数比分子高的分式，可将分子、分母同除以分子，使分母出现可用基本不等式求解的结构.

例5 求y=x/（x²+9）（x>0）的值域.

思路分析 可先将分子、分母同时除以x，再将分母分离出来.

四、遇根平方

思路分析观察式子的结构，可以看到（x-1）+（4-x）=3是个定值，所以将式子平方后，便可构造出可用基本不等式求解的结构.

以上几种方法是运用基本不等式解决最值问题的常用方法.无论是遇分则离，还是遇根平方等方法，其目的只有一个，那就是构造出和为定值或者积为定值的两项，然后才可用基本不等式.构造出可用基本不等式的结构，是解决此类最值问题的关键所在.