方程，不止于会解

吴存红　吕俊

方程，不仅是一个知识点，而且是一种方法，更是一种解决问题的工具.初中范围对方程的考查可不止于解，同学们跟我一起来认识一下考查方程的几类常见问题，你们在复习的时候可以结合以下类型的问题，逐个突破.

一、基本要求，解方程

例1 （2017·泰州，6分）解方程：[x+1x-1]+[41-x2]=1.

【解析】本题主要考查了分式方程的解法，解分式方程分为三步：（1）去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程；（2）解整式方程；（3）验根，把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，否则，这个解就是原分式方程的解.

解：两边同乘（x+1）（x-1），

得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. （2分）

解之，得x=1.（4分）

检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0，则x=1是增根.（5分）

所以原分式方程无解.（6分）

二、常规要求，用方程的解

例2 （2017·南通，3分）若关于x的方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .

【解析】本题考查了一元二次方程根的判定.共有三种情况：关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根?b2-4ac=0；关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根?b2-4ac>0；关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根?b2-4ac<0.故答案为9.

例3 （2017·南京，2分）已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，则p= ；

q= .

【解析】本题可以利用一元二次方程的根与系数的关系来求解：-3+（-1）=-p，-3×（-1）=q；也可以由方程的根写出一元二次方程进行求解：这个方程可以写为（x+3）（x+1）=0，整理，得x2+4x+3=0；还可以把两个根代入原方程进行求解.

三、能力要求，列方程

例4 （2017·盐城，10分）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元購进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒.

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

【解析】本题考查的知识点：利用分式方程解决实际问题；运用一元二次方程解决有关增长率的问题.（1）设出未知数以后，本题的等量关系是“购进了与2014年相同数量的礼盒”，并由此列方程；（2）“增长率相同”的实际问题，呈现数学中的“指数模型”，数量a以相同的增长率x连续增长n年以后的结果是a（1+x）n.连续增长2年相当于n=2.

解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒.（1分）

根据题意得：[3500x]=[2400x-11]，（3分）

解得x=35，（4分）

经检验，x=35是原方程的解.

答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒.（5分）

（2）设年增长率为a.

2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）.（6分）

所以（60-35）×100（1+a）2=（60-35+11）×100，（8分）

解得：a=0.2或a=-2.2（不合题意，舍去）.（9分）

答：年增长率为20%.（10分）

四、高阶要求，方程思想

例5 （2015·苏州，6分）如图，已知函数y=[kx]（x>0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）.过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F.一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E.若BC∥AE，求BC的长.

【解析】本题考查了反比例函数、平行四边形、相似三角形等知识点.题中需要求出未知点C的坐标才能求解，联想到“BC∥AE”可以得到△ADF∽△CBF，从而可以列出一个方程求出点C的坐标.在这类函数综合题中，方程思想显得非常重要，当问题中存在未知量的时候，都可以尝试挖掘问题中隐含的等量关系列出方程进行求解.

解：∵点B（2，2）在函数y=[kx]的图像上，

∴k=4，则y=[4x].（1分）

设A的坐标为（m，[4m]），则点C的坐标为（m，0）.

由BC∥AE，可得△ADF∽△CBF，（2分）

所以[AFCF]=[DFBF]，所以[4m-22]=[m2-m]，（4分）

解得m=1.（5分）

所以点C的坐标为（1，0），BC=[5].（6分）endprint