“数与式”的考点分析

“数与式”是初中数学的重要内容之一，在中考时，有时单独成题，有时渗透在综合题之中.

一、代数运算法则的简单运用

例1 （2017·西宁）下列计算正确的是（ ）.

A.3m-m=2 B.m4÷m3=m

C.（-m2）3=m6 D.-（m-n）=m+n

【分析】本题涉及的考点主要有：同底数幂的除法；整式的加减；幂的乘方与积的乘方.因为3m-m=2m，故A选项错误；m4÷m3=m，故B选项正确；（-m2）3=-m6，故C选项错误；-（m-n）=-m+n，故D选项错误.

【答案】B.

【方法指导】这类问题的解决主要在于对初中代数的运算法则的正确使用，其关键是把握算理，有序运算.

例2 （2017·通辽）若关于x的二次三项式x2-ax+[14]是完全平方式，则a的值是 .

【分析】这里首末两项是x和[12]这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和[12]积的2倍，故-a=±1，求解得a=±1.

【答案】±1.

【方法指导】完全平方公式有两个，一是a2+2ab+b2，二是a2-2ab+b2，它们在代数中又可以统一成一个形式.

二、多项式的因式分解

例3 （2017·郴州）把多项式3x2-12因式分解的结果是 .

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可.即3x2-12=3（x2-4）=3（x-2）（x+2）.

【答案】3（x-2）（x+2）.

【方法指导】因式分解就是“和差化积”的过程，它有固定的操作方法.在初中阶段，首先是提取公因式（如没有公因式，就不必进行此操作），然后再运用公式法进行分解.所要注意的是因式分解一定要分解到不能继续分解为止.

三、化简求值

例4 （2017·宿迁）若a-b=2，则代数式5+2a-2b的值是 .

【分析】根据已知式的结构特征，用“整体代入”的方法求值较为适合.

【答案】原式=5+2（a-b）=5+2×2=9.

【方法指导】求代数式的值一般有三种方法.（1）如果代数式中字母的取值全部知道，可将字母的取值直接代入即可.（2）对代数式进行整体或部分因式分解，然后用整体的思想代入.（3）对于填空与选择题也可用取特殊值的方法来求.本题也可用其他两种方法来求值.

例5 （2017·遵义）化简分式：（[x2-2xx2-4x+4]

-[3x-2]）÷[x-3x2-4]，从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.

【分析】利用分式的运算，先对分式化简，再选择使分式有意义的数代入求值即可.

【答案】（[x2-2xx2-4x+4]-[3x-2]）÷[x-3x2-4]

=[xx-2x-22-3x-2]÷[x-3x2-4]

=[xx-2-3x-2]÷[x-3x2-4]

=[x-3x-2]×[x+2x-2x-3]

=x+2.

∵x2-4≠0，x-3≠0，x-2≠0，

∴x≠2且x≠-2且x≠3，

∴可取x=1代入，原式=3.

【方法指导】解决本题的关键，一是要对分式进行正确化简；二是求值要计算正确；三是选择的字母取值，一定要使原始分式有意义.特别要注意的是作为除数的那个分式的分子、分母都不能为0.

三、代数式的简单应用

例6 （2017·郴州）已知a1=[-32]，a2=[55]，a3=[-710]，a4=[917]，a5=[-1126]，则a8= .

【分析】由题意给出的5个数可知：an=

（-1）n[2n+1n2+1]，所以当n=8时，a8=[1765].

【答案】[1765].

【方法指导】用代数式表示研究对象的规律，首先要观察、分析、推断出其变化规律，然后用恰当的字母表示.

例7 （2017·咸宁）由于受H7N9禽流感的影响，我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，3月份比2月份下降b%，已知1月份雞的价格为24元/千克，设3月份鸡的价格为m元/千克，则（ ）.

A.m=24（1-a%-b%）

B.m=24（1-a%）b%

C.m=24-a%-b%

D.m=24（1-a%）（1-b%）

【分析】今年2月份鸡的价格比1月份下降a%，1月份鸡的价格为24元/千克，可得2月份鸡的价格为24（1-a%），再由3月份比2月份下降b%，即可得3月份鸡的价格为24（1-a%）（1-b%）.

【答案】D.

【方法指导】列代数式的关键是厘清题目中的数量关系，并按照用字母表示数的规范要求表示出来.

例8 （2017·孝感）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为（a-1）正方形，记图1、图2中阴影部分的面积分别为S1、S2，则[S1S2]可化简为 .

【分析】这是一道以平方差公式为几何背景的问题，只要根据题意列出分式，并对所列分式进行化简即可.

【答案】[S1S2]=[a2-1a-12]=[a+1a-1].

【方法指导】对待这样的问题，只要将问题数学化，得到分式模型即可，余下的事情，就是将分式化简.

（作者单位：江苏省南京宁海中学分校）