从一道习题来看动点问题

廖玉胜

（湖北省枝江市安福寺镇初级中学，湖北 枝江）

动态问题不仅是近几年中考的热点问题，而且是对学生综合运用知识能力的检验手段之一。动态问题是以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类试题。几何图形中的点与线的运动，就形成了数学中的动态问题。动态问题基本上可以分三种：动点问题、动线问题和动形问题。实际上初中阶段出现最多的只是动点问题。怎么让学生很好地解决动点问题，还需要我们教师加强探索研究，巧妙地引导学生分析，发现一些适合自己解决问题的办法。一般地：不被“动”所迷惑，善于在“动”中寻找相对的“静”，即：抓住运动中的某一“极端点”（瞬间点），发挥空间想象能力，分析“动”与“静”的内在联系，寻求解决问题的途径。对于多数学生来说完成这类试题是比较困难的，但是，只要教师能从生活实例出发，将动点问题实际背景化，让学生看得见摸得着，是完全可以达到预期效果的。下面就从类似课本上的一道习题来探究解决动点问题的基本办法。

习题：动车路线MN和高速公路PQ在点O处交汇，两条道路成30°的夹角，高速公路上A处有一所福利院，距离交叉处O有200 m。动车行驶时，周围200 m以内会受到噪音的影响，当动车在路线MN上沿ON方向行驶时，福利院是否会受到噪音的影响？如果动车行驶的速度为280 km/h，试求出福利院受到影响的时间！（结果保留整数）

先思考台风运动问题：2018年“HK”台风（强热带风暴）的中心在距离SY市东偏北约370多公里海面上，附近最大风力为10级（风速25米/秒），台风运动的半径大约为110—130公里。估计“HK”台风将以每小时15公里左右的速度向西偏北方向移动，强度会继续加强，最强可达风级12级（风速30米/秒左右）。然后台风将适当改变方向继续向前移动。

一、引导分析：台风本身就是一个圆形，它在运动过程中就会留下宽度为近300公里的一个影响带，如果某地在它经过留下的影响带中，就会受到台风的影响。实际上我们就将台风运动痕迹转化成了相对静止的一个“带状”图形。

二、学生发现：台风是以台风中心为圆心，以某一长度为危害半径的运动圆，这就是动态圆。那么，习题中的问题也可以理解为：动车沿铁路行走过程中，就相当于台风运动；影响范围为200m，也就是一个宽度为200m的带状图形，点A（福利院）就在这个运动圆留下的痕迹内（图1）。动车是以一个圆形在向前“动”，我们是不好求出点A受影响的时间的。那么逆向思考：我们将福利院和动车都看成一个点，比较点A与动车的距离，如果两点的距离大于200m，那么福利院就不会受到影响。

图2

三、问题解决：因为福利院是不“动”的。因此我们可以以A点为圆心，200m为半径作圆（图2），观察动车是否进入圆中。我们把动车转化为一个动点，福利院就是相对静止的点。如果动车进入以A点为圆心，200米为半径的圆（即：当动车在OG上时，也就是动车与A的距离小于200m时），福利院就受影响，因此只要求出OG的长度即可！从而将一个貌似复杂的动态问题转化为学生十分熟悉的纯几何问题，这种“转化”也正是初中学生必须具备的一种能力。

我们所采取的这种分析方法：从实例出发，由易到难，尽量避免多数同学对于动点问题的畏惧心理。“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解决。一般情况下是要抓住变化中的“不变量”，以“静”制“动”。比如近几年中考中的压轴题都是动点问题与函数问题、几何问题相结合，那么首先你就必须要清楚地了解函数图像或几何图形的性质、特点。动点题无非就是要你将所有的点找出来，也就是将动点转换为静止的点，根据题意写出函数关系式或找出与几何图形相联系的等量关系，通常这就是变化过程中的一个基本量；然后就可以把相关的量都用关系式表达出来。这就要求我们必须充分地了解学过的几何图形的概念和性质。有时候也可以试一试某些极端点，很多中考题都是通过极端点，寻求到相对静止的状态。

综上所述，动点问题一般要求学生必须要熟练掌握基础知识，拥有较强的综合分析问题的能力，数形结合，才能更好地去解决问题。目前，老师运用几何画板软件，就可以很好地帮助我们实现这一目标。