均值不等式的应用

陈继

【摘要】均值不等式的应用较为广泛，在很多领域都能发挥积极作用。如何正确应用均值不等式是广大数学教师研究的重要课题。文章主要介绍了关于均值不等式在初等数学、高等数学以及实际生活中的应用，以期为相关人士提供参考。

【关键词】均值不等式；初等数学；高等数学应用

一、引言

均值不等式具有应用范围广泛的特征。数学教师可以将其合理使用在数学教学中，制订完善的教学方案，树立正确的观念，创造良好的教学环境，在对教学内容进行创新的基础上，逐渐提升自身教学水平。在教学工作中，教师使用均值不等式知识，可以对最值与累加、累乘等内容进行协调，在全面分析相关教学要求与特点的基础上，创造良好的发展空间，创新教学方式，加大教学工作力度，创建现代化的教学体系，满足其实际发展需求。当前，部分数学教师在教学工作中，还不能很好地应用均值不等式知识，难以提升相关知识的应用效果。因此，教师要进行全面的分析，归纳总结教学经验，创造良好的发展环境，为后续进步奠定基础。

二、均值不等式在初等数学中的应用

（一）利用均值不等式计算累加累乘

在均值不等式知识实际使用的过程中，教师可以对不等式中的难点问题进行分析，指導学生掌握相关知识的应用技巧，提升学习水平。在学生学习的过程中，教师可以对学生提出相关问题。例如：如果a，b，c都是正数，求证。在对这个问题进行讲解的过程中，应明确学生的学习特点与要求，为学生讲解相关内容，保证更好地对其进行分析，在一定程度上能够提升学生的解题能力。教师可以指导学生先对问题的已知条件进行合理的分析，明确均值不等式的定义知识，然后利用论证与推导的方式对其进行严格的探讨，保证可以获得准确的结论。另外，要综合使用相关计算与分析方式，逐渐提升均值不等式知识的使用效果。

（二）利用均值不等式求最值

在使用均值不等式对最值问题进行解决的过程中，应当合理分析数学问题的研究重点，保证更好地学习与掌握相关知识。在此期间，应当合理分析必备的基础条件：其一，就是“正”元素，各项数据信息都为正数；其二，就是“定”元素，各项数据信息与乘积为定值；其三，是“等”元素，明确等号的取值条件。在均值不等式实际应用的过程中，能够对最值的数据信息等进行合理的分析，巧妙使用变形方式获取最值信息，保证在相关系数求解的过程中，对各个层次的内容进行研究。在实际发展的过程中，可以利用具体的实例方式，明确最值数据信息。

在实际教学的过程中，教师可以利用拆项方式、换元方式、平方方式等，掌握变形分析技巧，对定值与最值等数据问题进行求解，协调各方面之间的关系，保证教学效果。

例如：a大于0，b大于0，a+b等于1，求证。在指导学生对此类问题进行分析的过程中，通常情况下，教师会对均值不等式的几何背景等进行研究，使得学生在了解几何背景的情况下，更好地对结论进行分析，提升知识掌握效果，拓展多元化的发展空间。同时，在教学期间，教师还要指导学生在缜密思考的过程中对几何空间数据信息进行分析，提升问题分析效果，满足当前的实际发展需求，保证结论的准确性与可靠性。另外，在使用均值不等式知识解决相关问题的过程中，还要对实际情况进行合理的研究，培养学生循序渐进的问题分析观念，提高其创新能力，保证在未来发展的过程中，制定多元化的分析与管理机制，创造良好的发展空间。

三、均值不等式在高等数学中的应用

（一）均值不等式在极值问题中的应用

在高等数学教学的过程中，教师应当合理使用极值相关问题开展教学活动，制定完善的教育方案，及时发现其中存在的问题，采取有效措施应对问题，保证教学工作的可靠性与有效性。

例如教师提出问题“求极限”，在求解的过程中，可以将n元均值不等式作为主要的解题内容，通过合理的方式对其进行处理，保证能够更好地对问题进行解决，提升教学效果。在解题过程中，可以要求学生建立均值不等式的相关方程，更好地学习不等式解题中的知识，明确解题要求，全面掌握相关知识内容。

通常情况下，在建立函数极值问题解决方案的过程中，教师要指导学生科学应用函数解析式的方式学习相关知识，然后判断问题是否可以运用均值不等式方式解决，如果可以，就要对其进行全面的处理。在此期间，教师可以指导学生利用微积分的方式，对极值问题进行全面的分析，明确其可行性与有效性。同时，教师在指导学生求解极值问题时，对特殊类型均值不等式内容进行研究，及时发现其中存在的不相像等问题，采取有效措施对其进行解决。运用均值不等式知识解决极值问题，具有间接性与便利性的优势，能够提升解题效果。因此，在未来发展的过程中，教师要指导学生全面了解均值不等式的基础知识，创造良好的教学环境，使得学生在先进教学方式的支持下，更好地解决相关问题，提高现代化教学工作效果。

在教学工作中，教师需重视对学生排序不等式能力的培养，使其在全面理解基本不等式知识的情况下，更好地参与教学活动。在此期间，教师可以设置问题：“现有两组数，第一组为A1，A2，…，第二组为B1，B2，…，要想满足A1小于等于A2，且B1小于等于B2，那么，怎么样才能使其成立？”在提出问题之后，需根据数值的实际调整要求对其处理，利用反序与同序的方式解决问题，在合理调整的情况下，对其进行严格的控制。在实际证明的过程中，还需对A1、A2、B1、B2进行全面调整，保证相关数值可以符合相关规定，更好地开展作差证明活动。这样在一定程度上可以培养学生知识的学习与理解能力，使其在理解与学习知识的过程中，养成良好的习惯，提高学习效果，满足当前的实际发展需求。

（二）均值不等式在应用过程中的注意事项

在使用均值不等式的过程中，教师应当指导学生注意各类事项，运用合理的分析方式，及时发现不等式知识应用中存在的问题，并采取有效措施加以解决，满足当前的教学工作需求。具体注意事项包括以下几点。endprint

第一，对于不同的均值不等式而言，存在不同实数取值范围的要求，应当明确实际情况。例如：在对问题进行分析时，如果二次根号下面存在实数，就必须保证实数大于或是等于零，保证可以满足不等式知识的应用要求。

第二，均值不等式知识的应用，要求其中带有等号，在解决数学问题的过程中，应当对其等号成立条件进行合理的分析，如果不存在相关条件，就无法应用不等式知识。

第三，为了培养学生不等式知识的应用能力，教师可以使用符号图形展示教学方式、生活语言教学方式等，指导学生通过书面语言，对符号进行表达，增强其学习便利性与简易性，满足当前的不等式知识教学要求。

第四，在对圆直径或是弦长大小问题进行解决的过程中，教师可以指導学生判断该问题是否可以使用均值不等式知识，在明确能用之后，还要寻找最佳的实用点，以便于提升不等式知识的应用效果。

第五，实际教学中，教师还要指导学生使用均值不等式对周长与矩形问题进行解决。可以发现，在周长相等的矩形中，面积最大的为正方形；在面积相等的矩形中，周长最小的是正方形。在反复验证的过程中，学生通过合理的分析方式，了解相关不等式知识的使用要求，能够全面提升学习效果。

第六，均值不等式知识是中学数学教学中的重点与难点，教师应当给予学生正确的指导，培养其知识应用能力与问题解决能力，满足实际教学要求。

第七，在均值不等式知识教学工作中，教师需制订完善的教学工作方案，结合当前的实际教学特点与要求，创新管理形式，保证提升各方面的工作效果。在此期间，需培养学生的实践能力，使其全面了解均值不等式的相关知识，更好地参与到实践活动中，提升其学习能力与理解能力。

第八，教师在讲解均值不等式知识的时候，需创建多元化的管理机制，明确各方面工作之间的关系，创新教学形式，在加大教学管理力度的情况下，营造良好的教学环境与氛围，保证能够增强教学工作效果。

第九，教师在对均值不等式知识的讲解期间，需针对各类内容进行全面的分析与处理，根据学生的实际学习要求，建立健全管控机制，明确各方面的教学要求，保证在未来发展的过程中，得到良好的教学成效。为了使学生更好地掌握均值不等式知识，还需合理创建相关教学体系，满足当前的教学要求。

四、结语

均值不等式的应用十分广泛，但在实际应用中一定要注意其使用条件，认真思考，注意各种条件变换和公式的变形使用，理清解题思路，提升学生分析问题与解决问题的能力，在实践过程中，要培养学生均值不等式的使用技巧，更好地对问题进行研究，以达到良好的教学效果。

【参考文献】

[1]程铁杰，周婷.均值不等式和割、切线法在水力学分析中的应用[J].山东农业大学学报（自然科学版），2016，47（06）：835-840.

[2]王琳，杨秀.广义均值不等式及其简单应用[J].四川理工学院学报（自然科学版），2015 （03）：96-100.

[3]刘孜恒.关于一个不等式模型的点滴思考[J].魅力中国，2016（24）：85-86.

[4]李培莹.走出均值不等式求最值的误区[J].赤峰学院学报（自然科学版），2014（01）：4-5.

[5]潘伟云.均值不等式的探讨[J].吕梁教育学院学报，2016，33（01）：96-97.

[6]曾庆雨，叶飞，张转周，等.均值不等式在最值问题中的应用探究[J].读写算（教育教学研究），2015（02）：188-189.endprint