方程函数思想在初中数学中的应用

刘武辉

（江西省高安市新街二中 江西高安 330811）

数学（mathematics）是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。在初中数学中，方程和函数占有重要比列，方程及函数的概念在国家数学基础教育中是一个重要的组成部分，学校应该结合初中数学课程的特点加强方程函数课程的教学方式，这样不仅可以锻炼学生的思维方式，也可以将复杂的数学问题转化为易于计算的问题，数学知识可以被记住一段时间，但数学思想和方法可以随时随地为工作、生活服务，使人们终身受益。[1]

一、方程函数思想概况

最近十年以来，教育工作者们已经明确的提出不仅要检验学生的数学知识和思维能力，还应该检验他们应用思想和方法的能力。而其中的函数和方程的概念思想正是整个数学素质教育中最基本的概念之一。并且学生仅仅是学习如何运用函数和方程式解答题目是远远不够的，也不是我们的初衷，他们应该依靠解决问题和反思问题的过程来理解方程函数思想的本质与原理。方程函数是研究日常工作生活中定量关系的重要工具。在处理生活中的实际问题时，需要根据已知量和未知量之间的关系以及构建一个相等的关系来建立方程。方程函数的思想是利用运动视图和变化来研究特定问题中的定量关系，然后用函数的形式来表达变量之间的关系。因此，函数和方程的概念已被广泛应用于中学数学，这也是入学考试的必修部分。[2]

二、方程函数思想在中学数学中的应用

1.方程函数思想的内容

初中数学教学中方程函数思想的具体内容主要包括两个方面：方程概念和函数概念。方程的概念思想是运用数学语言来转换方程函数问题中的条件，然后根据数学关系逐步进入到相应的数学模型中。主要包括，方程组，方程式，方程不等式，方程组和不等式的组合。函数的概念是使用已知条件来构造不同的函数形式，例如常数函数、反比例函数、幂函数以及奇函数、偶函数等等。我们可以看出，方程和函数是两个不同的概念，但结合两者之间的数学特点在初中数学中具有重要意义。在此基础上，我们通常将方程和函数的两个不同概念称为方程函数的概念。

2.方程函数思想在初中数学中的应用举例通过整理与归纳，我们发现在数学教学中，方程函数思想最常用于以下两个问题。

（1）求代数式的值

例如，已知 a = 2 - 3 ，b = 2+ 3 ，求（3a2- 12a + 4）×（2b2- 8b+13）的值。此时，因为 a + b = 4，a × b = 1，所以 a，b 为方程 x2-4x + 1 = 0 的两个根。当 x = a 时，a2- 4a + 1 = 0，可得 3a2- 12a + 4 = 3×（a2- 4a + a）+ 1 =1，当 x = b 时，b2-4b + 1 = 0，可得 2b2- 8b + 13= 2 ×（b2- 4b + 1）+ 11 =11，此时即可求出原始 = 1 × 11 = 11。

（2）构建函数模型解决应用题

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利 10 元，每天可售出 500kg。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20kg。（1）现该商场要保证每天赢利6000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元能使商场获利最多？解：设每千克应涨价 x 元，根据题意得： （10 + x）×（500 - 20x）=6000 解得：x1= 25，x2= 10 为了使顾客得到实惠，应取 x = 5（元）。（2）设每千克涨价 x 元时，总利润为 y 元。Y =（10+ x）×（500 - 20x）=-20x2+ 300x + 5000 = -20 ×（x - 7.5）× 2 +6125 当 y = 7.5 时候 ymax= 6125（元）。

（3）方程函数思想在方程组中的应用

人教版初中数学中的鸡兔同笼的问题。例：现有一个鸡兔同笼，头共有35个，脚共有94只，然后让学生算出鸡兔同笼中共有鸡与兔各有多少？

解析：这一鸡兔同笼问题，可以根据已知的条件，然后找到数量中的隐含条件，最后利用方程组或者方程式来进行计算。

解法1：设：鸡有x只，兔有y只。

x+y=35；2x+4y=94。学生通过解方程就可以得出结果，然后答题。答：鸡有23只，而兔有12只。

解法2：设鸡有x只，兔则有（35-x）只。

2x+（35-x）×4=94。学生通过解方程就可以得出结果，然后答题。答：鸡有23只，而兔有12只。

结语

方程函数的概念是使用函数的概念和属性来分析和转换问题的，因此要在实际问题的应用中，建立相应的数学模型和函数关系从而解决相应的问题。思维方法是数学的本质和灵魂，是对数学内容的一种基本理解。因此，学校应该清楚地认识到方程函数功能在中学数学教学中发挥的巨大作用。推动方程函数在教学中的进一步发展。