一类条件为abc=1型不等式的证法探究

安徽省岳西县汤池中学

苏岳祥 杨续亮 (邮编：246620)

在《数学通讯》(上半月刊)的问题征解，《中等数学》数学奥林匹克问题，《数学教学》问题与解答以及各级数学竞赛试题中，经常出现abc=1条件的三元不等式证明试题，笔者对含有“abc=1”的条件不等式的证明进行了深入的探究，总结出五种证明不等式的方法.

1 运用公式直接证明

=3.

例2(2015年摩尔多瓦数学奥林匹克试题)已知a、b、c是满足abc=1的正实数，

证明因为(a+b)(a-b)2+(b+c)(b-c)2+(c+a)(c-a)2≥0，

所以2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)≥6.因此

评注证明时对不等式进行了分拆，局部运用均值不等式或者柯西不等式.

2 常数“1”的代换

证明注意到a5+b5-a2b2(a+b)=(a2-b2)(a3-b3)≥0.

评注利用1=abc代换时，考虑到代数式的齐次式特征，实现有效的等价代换.

3 结构化换元

3.1 倒数换元

由于(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(yz+zx+xy)≥3(yz+zx+xy)，

例5(2008年全国高中数学联赛山东省预赛试题)设实数x>0,y>0,z>0，且xyz=1.

故不等式得证.

无独有偶，在2016年辽宁省竞赛也有这样一道试题：

评注这种代换可以解决第41解IMO试题.

评注换元以后得到了第四届中国西部数学奥林匹克第8题 求证： 对任意的正实数a、b、c都有

故

由柯西不等式可得

3.5 a=x3,b=y3,c=z3换元

证明令a=x3,b=y3,c=z3(x,y,z>0)，

由(y4-z4)(y-z)≥0得y5+z5≥y4z+z4y=yz(y3+z3)，

又有6x8+y8+z8≥8x6yz=8x5，x8+6y8+z8≥8xy6z=8y5，x8+y8+6z8≥8xyz6=8z5，

以上三式相加可得

x8+y8+z8≥x5+y5+z5.

4 其它变换

因此要证原不等式成立，只需要证明

故所证不等式变为

整理可得

10x6-54x4+61x3-27x+10≥0，

而当0

10x6-54x4+61x3-27x+10

=(x-1)2(10x4+20x3-24x2-7x+10)

≥0，

从而原不等式成立.

即a+b+c-1=ab+bc+ca，故

=a2+b2+c2

=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)

=(a+b+c)2-2(a+b+c-1)

=(a+b+c-1)2≥1，得证.

5 待定系数法

又由均值不等式可得

以上三式相加可得.

评注例11实质上是波罗的海数学竞赛试题的题源.

设a、b、c为正实数，且abc=1，求证

化简可得.