篮球比赛中运用犯规战术转败为胜的博弈分析

（北京市第十三中学 北京 100009）

篮球比赛是以得分多少判定胜负的一项集体性、对抗性体育项目。其特点表现为快速、凶悍、抢夺的竞技，在当今篮球运动中，比赛竞争日益激烈，双方较量的不仅仅是各自的技术、能力，更是战术、策略的斗智斗勇，恰如一个博弈。博弈是对立双方根据自己和已获知的对手的状态及相关，信息运用各种方法和策略，采取行动以获取最大得益为目的的一系列策略实施的过程。博弈包括3个因素：第一，博弈的参与者即博弈方；第二，各博弈方选择的行为和策略；第三，博弈方在博弈的各种局势下所获的得益。首先，一场篮球比赛，有两支球队参与，满足了博弈第一因素；其次在比赛中双方根据对手以及本方队员的特点制定相应的战术策略，符合博弈第二因素，第三篮球比赛过程中攻守转换，对方进攻本方防守，对方进攻成功意味着本方此回合的防守失败与博弈的第三因素相符合，可见篮球比赛是一种动态博弈。[1]

在篮球比赛中，允许的合理适度的身体接触，使得队员的犯规在所难免。虽然篮球比赛同任何其它的体育竞赛一样，按照规则，提倡公平竞争的精神，并对一切形式的违例行为施以适当的刑罚。然而，成功的犯规对比赛的结果有潜在的甚至无法估量的影响。因此，应将犯规视为一种策略，加以研究和应用。本文将对比赛临近结束时，在比分相近情况下比分落后一方所应采用的借以转败为胜的犯规战术，运用博弈论的思想方法进行分析探讨。[2]

一、犯规及犯规战术

1.概念

所谓犯规就是违反比赛规则，包括与对方队员进行非法身体接触，违反运动道德和行为。犯规战术是指在篮球比赛中审时度势，篮球规则的遵守和使用，以及根据比赛的实际需要所使用的球队或个人的有预谋的、有组织的、合理的和有效的主动犯规。目的是破坏对手的比赛节奏，干扰或压制其战术的发挥，提高球队的制胜犯规动作。

2.犯规战术的类型

犯规战术可以可以按攻守对立的性质分为进攻造犯规战术和防守犯规战术。

攻击“犯规战术”：指进攻时故意造成对手，不仅增加了球队得分的机会，也增加了对方球队或球队的犯规次数，从而降低了他们个人和球队的防守能力.防守犯规战术是指故意或早期犯规，以赢得比赛时间或在场上获得主动权。

当本队（设为A队）在前场控球的情况下，可以有2种选择：采用造犯规战术和不采用造犯规战术。相应的其对手（设为B队）也有两个战术，采用防守犯规战术和不采用防守犯规战术。如此构成了这一动态博弈的四个战略组合：

（采用造犯规战术，采用防守犯规战术）；

（采用造犯规战术，不采用防守犯规战术）；

（不采用造犯规战术，采用防守犯规战术）；

（不采用造犯规战术，不采用防守犯规战术）；

如图1所示，如果A队采用造犯规战术，B采用防守犯规战术，A有两种可能情况，一种是进攻时投球未进，如果是3分投篮，将被罚球3次，得益为3分；如果是2分投篮，将被罚球2次，得益为2分；另一种情况是A队进攻时投球入网，无论是3分投篮还是2分投篮，都将只被追罚一次，得益为4分或3分，总之，可能的分数是2～4分，而B队的得益为一次犯规（犯规行为虽然不被扣分，但被犯规会起到破坏本队的作战意图，给队员造成心理压力的作用），记为-1分；如果A队采用造犯规战术，B未采用防守犯规战术，若A队进球，A的得益为2或3分，未进球，A的得益为0分，相应的B的得益为0分。

如果A队未采用造犯规战术，B采用防守犯规战术，A队的得益为2～4分，无论A队是否进球，B队的得益都是-1分。若B不采用防守犯规战术，A队的得益为0～3分，B队的得益都为0分。

由图1，我们可以看出B队的占优战略是不犯规，而A队的占优战略是“造犯规”。所以这个动态博弈的子博弈纳什均衡是：（采用造犯规战术，不采用防守犯规战术），博弈的结果是A的得益为0～3分，B的得益为0分。[3]

当然，模型中假定B只要不采用防守犯规战略它就不会犯规，这就意味着A所采用的进攻时的造犯规战略没有获得成功。市级比赛中，即使B不采用防守犯规战略，它也有可能犯规，这就意味着A所采用的进攻时的造犯规战略获得成功，这种情况与战略组合1相同。对A而言，运用进攻造犯规战术，无论成功与否，对手都有风险存在，势必给对手压力，影响其技战术的发挥。最好的结果是造对手犯规并追加罚球，不仅使本队的得益最大，也让对手产生负的得益。对B而言，防守上最好的策略选择应该是积极防守对手的射门，尽量不使用防守犯规战术，因为使用防守犯规战术的风险将大于非犯规战术。然而，在实际的篮球比赛中，当比赛时间即将结束，球队的得分不远的时候，为了赢得比赛，应该使用防守犯规。因为此时球队最大的风险就是输掉比赛。如果选择一个罚球命中率低的球员，再加上比赛关键时刻的观众和心理影响，犯规的风险可以降到最低。换句话说，对手的罚球不在。即使是对方的罚球，球队仍然有时间，有机会打出3分战术或是进攻犯规战术，并抓住机会将败局转化为胜利。

二、运用犯规战术转败为胜的博弈分析

在篮球比赛中，胜负往往取决于几分钟内的攻防战术。在比赛结束前几分钟是一个球队最重要的胜利。在这几分钟，犯规战术是缩小得分差距甚至超越得分的最佳选择。此时的犯规战术主要是球员在对方球员身上有意识地以较低的罚球命中率犯规，迫使他投出罚球，从而减少了对方持球所浪费的宝贵进攻时间。[4]

1.基本假设

① 在一场比赛中，有A，B两个队。

② A，B两个队比分为100:98。

③ 比赛临近结束还有还剩下24秒。

④ 为了便于分析研究，假设发生的所有罚球都命中得分。

⑤ 假定防守方只有通过犯规，在对手罚球的情况下才能获得球权。

2.博弈分析

假设A队控制球，A的策略是拖延和进攻。而B的策略是犯规和不犯规（如图2所示）。

如果A在第一个阶段选择了拖延时间，B在第二个阶段的选择是不犯规，意味着A以比分100:98胜利结束比赛，A的得益为0，B的得益也为0。

若B在第二个阶段的选择是犯规，有下面几种情况：

情况1，在对方运球中犯规并且单节犯规超过5次，A队罚球，按照假设，两发全中，A又得2分（比分为102:98）；

情况2，在对方投篮时犯规，A队罚球，A的最佳得益3分（比分为103:98）；但球权归B，B队还有进攻时间。此时，B选择“造犯规战术”，B的最佳得益为4分，此时，双方比分为102:102或103:102。

如果A在第一个阶段选择了进攻，B在第二个阶段的选择是不犯规，根据假定⑤，不采用犯规战略，B就不可能得到球权，有可能导致比分拉大（比如A队又得U分）。所以对B最好的结果就是双方的得益皆为0，比赛以100:98或100+U:98的比分结束，A赢得比赛。若B在第二个阶段的选择是犯规，分析过程同上。

如图2所示，如果B队不犯规，B就会输掉比赛。如果B队犯规，B队还有进攻时间。在上述情况1和情况2之下，A的最佳策略则是防守犯规，上述比分情况只是B由于犯规而得到一次球权所能得到的最佳结果。如果比赛尚未结束，上述的博弈过程会重复进行，B还有追赶比分的机会。

A队在防守时应尽量避免使用犯规战术，并应尽力保持领先。攻击时采用控球战术。在24秒内，进攻时间尽量延迟。应防止对手使用犯规战术，并将球交给投票给篮筐的球员，使他可以利用自由篮筐得分，进一步扩大领先。加强防守时的干扰，尝试减缓对手从后场到前场的进攻速度，积极防守，迫使对手减少投篮次数或急冲射击，从而降低投篮命中率。此时球队必须在匆忙中避免失误和犯规战术，以避免为对方节省时间，并提供缩小比分差距的机会。当b队进攻时，试图用篮下进攻，导致对方犯规。罚篮得分可以用来在有限的时间内最小化甚至超过分数，为了在防守中获得时间，球队内犯规较少的球员应安排积极寻找罚球命中率较低的球员在对手将球丢出球场外后立即犯规，并争取更多的攻击以节省比赛时间。使局势转败为胜。这个游戏本质上是一个完整的信息动态博弈。

这里对A、B都采用了可能获得的最佳的得益，然而实际比赛中，篮球运动的罚球或进攻都具有不确定性，可以应用数学期望值进行决策。当B犯规后， A的期望得益为罚球得分，在0和2之间；B在得到球权后的得分在0到4之间，那么只要E（B）≥E（A）（E（A）和E（B）分别表示A和B的期望得分），对于B来说犯规的期望得益就大于或等于不犯规的期望得益。因此，B的最优策略是犯规获得一次进攻机会；A的策略是拖延时间，一直到比赛结束，获得胜利。可见，A若不犯规，就将输掉比赛，若采用犯规战术，就有可能拉近比分，甚至转败为胜。

3.经典案例

2004年12月9日（北京时间2004年12月10日），休斯顿火箭主场对战圣安东尼奥马刺。

在距比赛结束还有1分02秒时，火箭队落后10分。休斯顿火箭队的麦迪突破后抛投篮不中，但姚明在第一时间直接将球补扣入网。之后马刺发底线球，被斯科特·帕吉特断球，后者直接扣篮得分，在几秒中内直追4分。此时时间已经不多了，火箭队被迫采取犯规战术，对方的德文·布朗2罚全中，差距又拉到8分。时间还剩44.2秒时，麦迪先是运球到前场直接出手投中3分。然后采用犯规战术，对方2罚又是全中。但麦迪又投中了不可思议的一球，他和姚明做了一个掩护后，引诱邓肯对他犯规，并且在下落过程中投中3分，并加罚一球，打4分成功。紧跟着又是犯规战术，对方蒂姆·邓肯2罚全中，时间只剩16秒，麦迪接住了界外发球，然后在布鲁西·鲍文面前又打了三分。此时，马刺呼吁最后一次暂停，然后准备发前场比赛，时间暂停，姚明的后防发球，球传到布朗手中，他冲进火箭队的内线，但是他摔倒了，麦迪迅速把球捡起来放在地上，直接跑到了前场。他在左三线附近又射了三分，击中。此时的比赛时间只有1.7秒。帕克错过了从后场运球到前场的三分球。在比赛结束时，火箭以81:80击败马刺。

结语

总结起来，我们可以得到以下的启示：在篮球比赛的关键时刻，使用犯规战术是取得最后胜利的有效方法和必要手段之一。在使用犯规战术时，要求全体队员在思想上高度一致，目标明确，行动坚决、迅速、果断，合理有效地运用犯规战术赢得比赛。

以上分析是基于一个简单而理想化的假设。基于对合理的篮球运动员在一定的约束下的分析，它有一定的局限性，但从另一个角度它指出犯规战术对于比赛的胜利是不可低估的。现代篮球和运动犯规战术已经被用来作为赢得比赛不可或缺的工具，尤其是在比赛的关键时刻。因此，犯规战术应作为正常教学和训练的一部分，并在实际比赛中根据球队的特点和场上形式的变化，合理有效地运用犯规战术赢得比赛。