密度矩阵重整化群的学习

徐梓涵

（江苏省常州高级中学 江苏 常州 213000）

密度矩阵重整化群的学习

徐梓涵

（江苏省常州高级中学 江苏 常州 213000）

在计算Kondo模型时，人们首先用蒙特卡洛方法去进行数值计算，但是发现有很大的误差，不能很好地刻画Kondo模型。后来，Wilson发明了NRG方法，并用它很好地刻画了Kondo模型。但是，当用NRG方法计算一些其他模型如一维海森堡模型时，却又很大误差。1992年，White在NRG的基础上进行改进，又提出了DMRG（密度矩阵重整化群 DMRG）方法，以此更好地解决问题。因此，有必要对DMRG方法进行学习。

量子蒙特卡洛方法；NRG方法；DMRG方法

1 引言

量子蒙特卡洛方法是强关联体系中的基本方法，有广泛的应用。NRG方法是DMRG方法的前身，主要是为了减少计算，去除不必要的自由度。DMRG方法是NRG方法的改进，处理好了边界问题，解决了达不到最大丰度的问题。这三种方法都是强关联体系中的重要方法。因此，很有必要学习这三种方法。

2 密度矩阵重整化群算法

2.1 历史背景

一个量子多体系统，如果想要对它进行数值计算用来求它的近似解就会遇到一些困难。由于希尔伯特空间呈指数增长的缘故，当系统尺寸呈指数增长时，希尔伯特空间会以n次方倍的速度迅速增长[2]。这样的增长速度太快，在对哈密顿量进行对角化来求它的本征波函数的时候，计算量就大大增加，占用太大内存空间，使计算所需的硬件要求提高，不利于计算。

但事实上，在实际研究中发现，在这众多的计算数据中，有很多数据对最后的结果过影响很小，完全可以忽略不计，可以只关心比较重要的几个[3]。像基态和一些低能激发态。因此可以使用稀疏矩阵储存，稀疏矩阵使非零矩阵元降到了10%及以下，这样可以降低内存的使用量。但即便简化成这样，用Lanczo方法等能够直接精确对角化的部分仍然还是很小的尺寸。特别是对于强关联系统来说，推广到热力学极限十分困难。

后来，在1975年的时候，Wilson第一次提出了NRG算法[4]。学习了NRG方法后，我们知道用NRG方法要降低自由度，来缩小维度空间，又通过不断地进行约化，收敛真实系统，从而完成计算。然而，这个算法也有很大缺陷。在计算一些像一维海森堡模型之类的问题时，边界问题无法处理，在叠加模块的时候会出现无限深势阱的状况，因而导致很大的误差。

Wilson的学生White发现了NRG算法的这些问题，又进行了许多深入的研究，最终在1992年提出了密度矩阵重整化群算法，弥补了NRG算法在格点模型中的不足[5]。在使用DMRG算法的时候，我们首先将整个系统拆分为两个子系统“系统”和“环境”。这两个子系统构成一个超块。操作时，将两个子系统分别进行对角化，再筛选出一些哈密顿量的本征值较大的本征态。这样就能够选出对结果影响较大的部分，简化计算。

2.2 量子蒙特卡洛方法

量子蒙特卡洛方法是强关联系统模型中一种重要的近似求解的方法，在学习NRG和DMRG方法之前，就已经知道量子蒙特卡洛方法能应用于强关联体系的模型中。许多强关联系统中的问题都是用量子蒙特卡洛方法来解决的，至今仍被广泛应用。所以，量子蒙特卡洛方法的学习也是非常必要的。

量子蒙特卡洛方法是由蒙特卡洛方法应用于量子力学中的部分。蒙特卡洛方法主要用于研究随机的物理问题。蒙特卡洛方法主要原理是通过做大量实验，再从其中随机抽样，通过概率计算近似解。但在蒙特卡洛方法应用于量子力学之后却发现了许多问题，由于量子力学体系与经典体系差异很大，要将其处理问题十分困难。

量子蒙特卡洛方法存在许多问题，除了计算量大、误差等小问题之外，目前最大的问题是负符号问题，这也是最困难的问题。量子蒙特卡罗是一种精确的数值模拟方法，但在有费米子负符号问题的系统，量子蒙特卡罗模拟的计算误差，随着温度的降低或系统体积的增加呈指数增长，失去了这种方法的可靠性。负符号问题起源于费米子交换的反对易性。对于大多数相互作用费米子系统，负符号问题总是存在，所以有必要引入其他算法[6]。

2.3 重整化群（NRG）算法

重整化群算法可以说是密度矩阵重整化群算法的前身，它也是强关联体系中的一种重要方法，具有十分广泛的应用。重整化群算法的想法是用重整化群将系统中不重要的自由度去除，从而减少计算量，求出近似解。

使用重整化群方法时，我们首先构造n+1个格点为基态，由于希尔伯特空间呈指数增长的缘故，当系统尺寸呈指数增长时，希尔伯特空间会以n次方倍的速度迅速增长。这样的增长速度太快，计算量太大。为防止在循环计算中哈密顿量过多而无法计算的状况，以能量为参考，对希尔伯特空间进行截断来降低空间的维度，减少计算的量。

NRG方法在Kondo模型中非常有效，成功求解了Kondo模型。但是在磁性质系统中，许多问题在计算的时候都有巨大误差。这些误差的原因在于NRG方法在处理子块边界的时候必然导致的。NRG方法是求解子块波函数，并将其组合进行求解。实际上，对于有些波函数来说，如果我们叠加波函数求解，在两个两端有节点的波函数叠加的时候，中间必然有节点，实际上的波函数在这个节点处达到最大值。这时，在这个节点处就必然会有较大的偏差，因而无法求出真正的波函数。所以，NRG方法在边界处理方法上的原因使它拥有局限性。

2.4 密度矩阵重整化群（DMRG）算法

因为NRG方法在强关联体系中的局限性，要寻找更好的一种方法在强关联系统中解决问题。在强关联系统中要进行计算，最重要的是舍去过多的，对结果影响小的量子态来简化计算，解决计算复杂的问题。经过研究，人们发现利用密度矩阵的本征值来参考取舍最为有效，于是DMRG方法在1992年由White主要为解决一维晶格模型提出。

在模型中，超块的希尔伯特空间可以当做由“环境”和“系统”两部分进行直乘，将空间合并得到。密度矩阵中，密度矩阵的本征值的平方代表了它对应本征态出现的概率，所以在DMRG方法中，应当寻找密度矩阵本征值大的本征态，以此最大程度上精确地表示晶格的态。然后找出误差足以忽略不计的点进行截断。我们在循环中，为了确保计算的精度，通常一次向系统中加入一个格点来使系统增大，并且每次循环保留前几个最大本征态，减少计算量。

DMRG方法算法在计算时通常分为两种：无限体系算法和有限系统算法。无限体系算法主要是在循环计算中增加链条的长度，而有限系统算法则是再循环计算中提高系统的计算精度。

无限系统算法主要是通过约化密度矩阵筛选出重要的几个态，并将其他不重要的态舍弃。再通过不断地循环增加格点到我们需要的大小再停止。在构造环境块时，根据无限系统对称，将系统块进行反射变换，使系统块与环境块的哈密顿量相等。

无限系统算法的主要步骤如下：

（1）构造四个每个包含一个格点的初始块，将四个格点直乘合并为整体，这个整体叫做超块。

（2）用四个初始块的哈密顿量矩阵直乘表示超块的哈密顿量的矩阵。

（3）用任意对角化稀疏矩阵程序对超块的哈密顿量的矩阵对角化，并得到相应目标态

（4）根据目标态（基态）通过公式计算左右两边的约化密度矩阵。

（5）进行截断。对角化密度矩阵，保留前M个有最大本征值的本征态。

（6）用约化密度矩阵在新的态下进行重整化。（7）用上一步得出的结果构造新的块和哈密顿量矩阵。（8）将新的系统块进行反射变换，得到新的环境块，用它们进行计算。

（9）重新循环。

有限系统算法与无限系统算法是系统的尺寸恒定，具体做法是一边减少多少，另一边就增加多少，是整个的大小不变。以上都是在边界开放的条件下进行，在有限系统算法下精度最高。

2.5 NRG与DMRG的对比

NRG和DMRG方法的不同点主要在两方面

（1）两者在模块的增加上的区别

NRG方法希尔伯特空间呈2n倍增长，增长速度很快。DMRG方法每次只加入两个格点

（2）两者在截断上的区别

截断时，NRG方法遵从玻尔兹曼分布规律：能量越小，概率越大。所以是取m个能量最小的态。DMRG方法密度矩阵的本征值的平方代表了它本征态的概率。所以是取m个最大本征值的本征态。

3 结语

通过学习和了解NRG以及DMRG等方法的算法原理和发展过程之后，经过我的整理，分析出了这些方法在发展过程中的不足，并对比出每种方法的适用条件，并且学习掌握了这几种算法的核心思想，并用通俗易懂的语言解释了NRG与DMRG的算法原理。

[1]李正中.近藤(Kondo)效应介绍[J].物理，1982(2).

[2]曾谨言《量子力学》卷I.

[3] Davidson E R.The iterative calculation of a few ofthe lowest eigenvalues and corresponding eigenvectors of large real-symmetric matrices[J].Journal of Computational Physics,1974,17(1):87-94.

[4] Wilson K G, Kogut J. The renormalization group and the ∈ expansion ☆[J].Physics Reports,1974,12(2):75-199.

[5]Steven.R.White,Density matrix formulation for quantum renormalization groups,出自《Physical Review Letters》1992年，第69卷：2863-2866页.

[6]学科网，物理所等在费米子负符号问题研究中取得进展2016-07-07.

O641.121 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5624（2018）02-0134-02