中考数学创新型试题的类型及评析

姜艳红 余小芬 董万平

摘 要：本文研究了中考数学创新型试题的八种类型：社会热点型、趣味逻辑型、实践操作型、数据分析型、归纳推理型、阅读理解型、空间想象型、方案设计型，列举并评析了这些类型对应的中考数学试题

关键词：数学;中考试题;创新

习近平总书记在全国两会参加广东代表团审议时的重要讲话中提出“三个第一”的重要论断，即“发展是第一要务，人才是第一资源，创新是第一动力”.的确，创新是推动民族进步和社会发展的不竭动力，它已经普及每一个领域，它也是教育领域最重要的词汇 .数学是研究数量关系和空间形式的学科，它是“思维的體操”，它具有的高度抽象性、严谨逻辑性、广泛应用性决定了数学是培养创新意识和创新能力的重要途径 .所谓创新意识，表现为认识创新的重要性，在学习数学的过程中有好奇心，对新事物感兴趣，不断地发现和提出问题，有创新的欲望，尝试去做一些对自己是新的、没有想过、没有做过的事情，用学过的数学方法解决问题 .而创新能力是指完成创新工作的能力[1].

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称《标准》）把“创新意识”确定为数学教学的十大核心概念之一，强调“创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”“要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用”.[2]中考作为人才选拔的重要方式，中考命题也应体现这一导向，重视对学生创新意识、创新能力的考查 .本文以近年中考数学试题为例，评析中考创新型试题的七大类型：社会热点型、趣味逻辑型、实践操作型、数据分析型、归纳推理型、阅读理解型、空间想象型、方案设计型 .

一、社会热点型

《标准》特别强调数学背景的现实性和“数学化”，以学生熟悉的现实生活和社会实践为问题的背景，注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估算、求解、验证解的正确性与合理性过程，最终解决实际问题[2].社会热点型试题取材生产生活实际，不仅展示时代特征，还聚焦社会热点，引导学生关注社会和国家热点问题 .

例1 （2017年湖南衡阳市中考24题）为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员支付两种支付方式，图1描述了两种方式用支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题 .

（1）求手机支付金额y（元）与骑行时间x的函数关系式;

（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算.

评析 本例以当前社会热点“共享单车”为命题背景，不仅考查了学生对一次函数及其图象的理解，也发挥了“立德树人”的功能，宣传了绿色出行的交通方式，培养了学生的环保意识 .

二、趣味逻辑型

我国古代教育家孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者” .兴趣是最好的老师，要使学生对枯燥的数学问题产生浓厚兴趣，便是将数学问题进行趣味化 .而逻辑推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式[1].新颖有趣的数学逻辑问题能极大激发学生的学习、探究兴趣，提高学生学习数学知识的积极性 .

例2 （2017年湖北恩施中考16题）如图2，在6×6的网格内填入1至6的数字后，使每行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则a×c=.

评析 数独是源自18世纪瑞士的一种运用纸、笔演算的数学逻辑游戏 .本例以数独游戏为命题背景，考查学生的逻辑推理能力，渗透了分类讨论、正难则反的数学思想 .

三、实践操作型

《标准》强调：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式”[2].通过实践操作，例如折纸、拼剪、绘制、测量等，让学生积极主动地参与学习过程，更能发挥学生学习的主体性，更有助于知识的内化和经验的积累 .

例3 （2017年内蒙古通辽中考25题）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作;…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.如图3，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形.

（1）猜想与计算

邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形;已知平行四边形ABCD的邻边长分别为a，b（a>b），满足a=8b+r，b=5r，请写出平行四边形ABCD是阶准菱形.

（2）操作与推理

小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图4，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.

评析 本例以新定义“n阶准菱形”为载体，考查学生的实践操作能力 .（1）问中，结合“n阶准菱形”的定义，通过剪（或画），不难分析出n的值 .（2）问中，通过折叠图形，利用对称性和平行线性质即可证四边形ABFE是菱形.（1）、（2）问紧密衔接，从认识理解“n阶准菱形”，到由定义计算n的值;再通过折叠为求解n值提供实践操作的方式;最后推理验证操作的科学合理性 .该试题对获得数学体验和心理认知，积累数学活动经验具有积极导向功能 .

四、数据分析型

以数据进行推断的思考方式已成为现代社会普遍应用的思维模式[3]，培养学生“用数据说话”的理性思维是培养适应现代生活的合格公民的必由之路 .王尚志、史宁中等专家也特别强调“数据分析”应是学生在数学学习中应具备的核心素养之一 .近年中考常考查学生画（或完善）频率频数分布表、频数分布直方图，能从样本数据中提取或计算如中位数、众数、平均数等数据，并能对总体进行合理的解释或评价.

例4 （2017年北京中考25题）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.

（1）收集数据

从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：

甲  78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙  93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40

（2）整理、描述數据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70—79分为生产技能良好，60—69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格 .）

（3）分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

得出结论：a .估计乙部门生产技能优秀的员工人数为;

b .可以推断出部门员工的生产技能水平较高，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

评析 本例考查对数据的收集、整理、分析，考查对平均数、中位数、众数的计算，考查学生利用样本数据特征估计总体特征的应用意识.

五、归纳推理型

归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理 .波利亚很早就注意到“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统演绎的科学;但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”.法国数学家拉普拉斯曾说过：“发现真理的主要工具是归纳和类比 .”人们在科学研究中，往往是首先通过对事物的观察、分析，运用类比、归纳，提出合理猜测，这种猜测既可能是具体的结论，又可能是具体的解决问题的方法 .中考作为人才选拔性考试，不仅注重对知识本身的考查，还侧重于对学生能力测试.其中，对学生归纳能力的考查越来越受命题者的青睐 .

例5 （2017年河北中考22题）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数 .

验证 （1）（-1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？

（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数 .

延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由 .

评析 《标准》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想”“在观察、试验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”[2].解决例5，从“发现”到“验证”，学生经历从“猜想”到“证明”的问题探索，经历用合情推理发现结论，用演绎推理证明结论的完整推理过程，让学生感悟从特殊到一般的数学思想，体会用字母表示数的代数优越 .“延伸”又体现了类比推理，通过“任意五个连续整数的平方和是5的倍数”到思考“任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几？”体现了知识的迁移和发散，有助于培养学生的类比思维和创新意识 .

六、阅读理解型

数学阅读是指学生根据已有的知识和经验，通过阅读数学材料（数学公式、方法、图形、符号、文字等）汲取信息，建构数学意义和方法的心理和智力过程[4].数学阅读过程是一个完整的心理活动过程，包含语言符号的感知和认读，新概念的同化和顺应，阅读材料的理解和记忆等各种心理活动因素 . 同时它也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程[4].近年中考中，阅读理解型试题成为了一道亮丽的风景线，考查学生对文字、数学符号等信息的分析、处理能力，以及对知识的灵活运用能力 .

评析 本例（Ⅰ）问利用折叠对称性不难证明ΔPBC是等边三角形;（Ⅱ）问探究出矩形ABCD中较大等边ΔPBC对学生的空间观念要求较高，需要学生能够想象三角形不断扩充的过程，从而大胆猜想出最大等边三角形的位置;（Ⅲ）问中，在矩形中画出最大的等边三角形也需依靠学生的空间想象能力，进而才能为验证“谁”的面积最大提供图形依据，最终保证作图有理有据;（Ⅳ）问用一张正方形铁片剪一个已知直角边长的直角三角形铁片，求所需正方形铁片的最小边长也要充分发挥学生的空间想象能力，只有明确直角三角形在正方形内的位置，才能依据相似、勾股定理等知识展开计算 .

八、方案设计型

《标准》指出：“通过数学学习，要培养学生能够形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的多样性[2].”方案设计型题要求学生在具体的问题情景中给出满足条件的方案，强调发展学生的应用能力、关注学生的个性培养、体现学生的创新思维 .

例8 （2017年黑龙江龙东中考27题）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展.2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1 .5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元.

（Ⅰ）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式;

（Ⅱ）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的18在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点.经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？

评析 本例以一次函数和一元一次不等式（组）为知识背景，通过“问题情境—建立模型—求解验证”，让学生深刻感受到数学知识“到哪里去”，体会到数学在生产、生活中无处不在，进而真正理解数学有用，要用数学，活用数学 .

创新型试题作为中考数学的一种重要题型，是数学知识、思想、能力交融的良好载体，是立德树人、发展素养的典型素材.因此，创新型试题在未来的命题中必将成为永恒的焦点 .

参考文献：

[1]教育部基础教育课程教材专家工作委员会 .义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012 .

[2]中华人民共和国教育部 .义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：人民教育出版社，2012 .

[3]胡成龙.2010年高考理科试题对高中统计与概率教学的启示[J].遵义师范学院学报，2010（5）：111-115 .

[4]刘成龙，黄祥勇 .2014年中考成都卷第23题分析及启示[J].中学数学（初中），2015（2）：40-43 .