类比、联想、转化是数学思维飞翔的翅膀

潘洁

作为一名高中数学教师，经常面临学生发出如此感叹：当看了试题的参考答案后觉得特别简单，就是自己在做题时没想到.其实高中数学教材里，很多章节几乎都包含一些类似的单元，它们并列分布在教材里，构成横向相似的知识系列.它们的概念、定义的逻辑形式相似，展开内容的层次结构相似，开拓性质的方法相似，知识的延续、深化、应用相似……人类的思维能够在外界信息进入大脑以后自动去整合、接通、激活这些已存在的相似块中的信息，从而使这些相似块之间互相联系、作用、渗透和组合.因此，利用这一特点，选择适当的方法，可以激发学生类比、联想、转化，开展积极主动的思维活动.

在高中数学解题过程中，我们通常从哪些方面入手来进行有效的类比、联想、转化呢？

一、从观察题目的结构形式入手

从题目的结构出发，通过观察、类比产生合理的联想，进一步通过所学的知识去发展、转化式子的原有结构来实现解题的目标.

例1   若a2+b2=1，c2+d2=4，则ac+bd的最大值 .

分析  如果此题采用重要不等式来证明：

ac+bd≤ a2+c2+b2+d2 2 = 5 2 .

当且仅当 a=c，b=d，a2+b2=1，c2+d2=4  时，等号才会成立.

显然，等号成立的条件不存在.那么我们可以再从哪个角度入手来思考问题呢？

分析  由ac+bd的结构特征我们可以联想到向量数量积的坐标公式 m · n =x 1x 2+y 1y 2.

解析  设 m =（a，b）， n =（c，d，）则有| m |=1，| n |=2，故 m · n =ac+bd.

又 m · n =1×2×cos〈 m ， n 〉∈[-2，2]，所以ac+bd的最大值是2.

例2   已知点P（x，y）的坐標满足  3 x-y<0，x- 3 y+2<0，y≥0，  则  3 x+y  x2+y2  的取值范围为 .

分析  由 x2+y2 的几何意义易于联想到| OP  |， 3 x+y可以看成两向量的数量积的坐标表示，其中 OP  =（x，y）， OQ  =（ 3 ，1），则有cos〈 OP  ， OQ  〉=  3 x+y 2 x2+y2  .

解析  由上面的分析可知，

3 x+y  x2+y2  =2cos〈 OP  ， OQ  〉，由图易知〈 OP  ， OQ  〉∈  π 6 ， 5π 6  ，

故cos〈 OP  ， OQ  〉∈ -  3  2 ，  3  2  .

综上  3 x+y  x2+y2   的取值范围为[- 3 ， 3 ）.

数学中的联系是客观的，但结构却可以是人为的.可以从解题的需要从不同角度来揭示数学题的结构.这种结构的特征性、差异性、层次性使我们可以从不同的角度运用不同的方法去解决同一个数学问题.

二、借助于解题过程或条件中一些片段的类比，联想到相应的解题技巧

有很多数学问题的解决需要灵感，而灵感的获得不是凭空产生的，来源于数学知识的理解和解决某些题目的思路、方法、技巧的积累.

例3   已知定义在（0，1）上的函数f（x），对任意的m， n∈ （1，+∞）且m

A.f  1 2

B.f  1 3

C.f  1 4

D.f  1 5

分析  由此式f  1 m  -f  1 n  =f  m-n 1-mn  联想到数列中的“裂项相消法”.

解析  根据f  1 m  -f  1 n  =f  m-n 1-mn  ，得a n= f  1 n2+5n+5  =f  1 n+2  - f  1 n+3  ，再用裂项相消法求“ a 1+ a 2+…a 8”.

解  f  1 m  -f  1 n  =f  m-n 1-mn  ，a n=f  1 n2+5n+5  = f  1 n+2  - f  1 n+3  ，

∴a 1+a 2+…+a 8=f  1 3  -f  1 4  +f  1 4  -f  1 5  +…+f  1 10  -f  1 11  =f  1 3  -f  1 11  =f  1 4  .故选C.

根据题目中的式子，类似的已知条件或求解过程与平时学过的定理、公式、方法、技巧有机结合，通过合理的构造转化可迅速寻找到问题的突破口，从而解决问题.

总之，类比、联想、转化在解决数学问题时具有至关重要的作用.它可以通过与已知问题的相似性提出预设，并将已知问题的特征和方法灵活运用到别的数学问题上.正如著名数学家波利亚所说：“没有这些思路，特别是没有类比与联想，可能初等数学和高等数学就不会有发现.”这也充分说明了类比、联想、转化在解决数学问题和数学学科研究领域中的重要地位.有了它们，可以充分激发出数学灵感，帮助学生寻找到解决问题的契机，使解决问题的整个过程自然流畅、水到渠成.因此，我们说类比、联想、转化是数学思维飞翔的翅膀.