通过解决问题的反思获得解决问题的途径

摘 要：张奠宙老师说：“核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。它反应数学本质与数学思想。”可见，核心素养的获得少不了探究和反思的教学过程。教师在精心设计问题的基础上，用数学研究的方式和方法，指导学生对问题进行多角度的分析与探索，从学习材料中选择或确定专题进行研究，并在研究的过程中学生能主动获取知识、应用知识、解决问题，进一步提高学生的创新意识和探究能力及综合素质。下面笔者谈谈从课本一个性质推导过程的反思中，总结解决一些问题的途径，以期待培养学生的数学素养。

关键词：数学；知识技能；教学

一、 课本环节 提出问题

（浙教版初中数学九年级上册4.3 相似三角形的性质2）

我们知道相似三角形中有关相似比与周长比和面积比的关系是：相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。这句话本身不难记，学生也应该很容易接受，为什么教材中要安排这样一个探索的环节？花这么长的时间解决一个看似很简单的问题到底要传授学生什么呢？

二、 归纳总结 提炼思想

经过前面的操作过程，不仅让每位学生有一个非常直观的感受，而且也兼顾学生的主体发展，引导学生不断主动参与到知识的形成过程中，为后面的学习作了一个很好的铺垫。

（一） 探索——拨开云雾见月明

学生们很快给出了两个相似三角形，我请了一个利用方格子画出两个相似三角形的学生展示他的结果。显然可以得到以下结论：

相似三角形的周长之比是相似比，面积之比是相似比的平方。

师：同学们都有这样的结论吗？

生：是的。

师：那我们是不是可以说这就是相似三角形的一个性质了呢？

生1：是相似三角形的性质。

生2：但是我们举的例子毕竟还是有限的几种，并不能代表所有的相似三角形啊。所以我们得证明任意情况才能说它是性质。

师：这位同学分析的非常有道理，那任意情况又要怎么证呢？

生3：把具体的数值变成字母就可以了。

师：很好。那我们看看，上面我们已经总结出来的这个结论中，已知条件是什么呢？

生4：两个相似三角形，还有就是不管是周长之比还是面积之比都是与相似比建立关系，所以相似比也是已知条件。

经过师生的交流合作，于是有了以下的证明过程（见书本）。最后板书。

（二） 总结——喝水不忘挖井人

师：反正都是要证明任意情况的，前面的合作学习还有什么必要呢？不是多此一举吗？

生5：如果没有前面的合作学习，那我们就不会知道周长比和面积比与相似比的具体關系，那我们证什么都不知道啊。

生6：而且我们在证任意两个相似三角形的时候，也是要和前面特殊情况一样，把周长、面积分别求出来，也就是说其实方法是一样的，就是把具体数值换成字母。

通过上面的教学过程，我们不妨做一个实践总结：

第一步：操作。学生手头上首先得构造一对相似三角形，这也是对已学过的判定方法的一种运用，用三角板画，用方格子画，用尺规画等等，总之，所画的这对相似三角形三对对应边长度已知，即给出了一种已知值、特殊值。既然要选一个特殊值，也为了避免一些不必要的麻烦，可以引导学生选择更特殊的直角三角形及数据，以利于后面猜想结论的总结。

第二步：猜想。因为有具体的数值，很快可以得到三边都已知的相似三角形的周长比及面积比的值，并发现它们分别与相似比的关系：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。于是猜想：对所有的相似三角形都有周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方这样的结论。

第三步：探索。首先，从特殊到一般，我们常用的是把相应的数值替换成字母；然后需要理清刚才解决该问题的方式，即把两个周长或者面积求出来，然后再比一比。当其中一个三角形用字母表示后，另一个三角形的周长和面积需借助相似比进行表示，然后再把两者比一比。所以不仅是思想上从特殊到一般的转化，也是方法上的一种延伸，为后面的证明过程铺石修路。

第四步：证明。最后是整个过程的一个呈现，完成一般情况的严密证明。

《新课标》“四基”中，新强调的基本活动经验和基本思想方法在这里就是一次很好的解读，通过实践操作，从特殊情况出发反思解决问题的过程，获得解决问题的途径。数学教学离不开例题习题，离不开教材教法，而教学中如何从中挖掘潜在的智能价值，充分展示教学功能，落实培养学生核心素养就会显得格外的重要。

三、 利用已学 水到渠成

现在越来越多的题目不是直接可以看出方法的，特别是变换类问题，学生要不摸不着头脑接，要不就谈虎色变。接下来我们看看，用刚才教材中的处理模式，很多大山一样压得学生喘不过气的问题如何迎刃而解。

（一） 典例1：已知：如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD∶BE的值是（）

A. 3∶1B. 2∶1C. 5∶3D. 不确定

实践1：

第一步：寻找特殊位置和特殊值。如图1所示位置，且边长是2倍关系。令小边长为1，由图很快可以得到BE=1，AD=3。如图2所示位置，直接可以根据特殊角30°看出AD=3BE。

第二步：猜想AD∶BE的比值是3。如果对于选择题，答案已经出来了，可见这种特殊值法在类似这种不要求解题过程的题型中很有优势，也为一般情况的探索提供了一个明确的方向和线索。

第三步：探索中摸索一般情况下的解决方案。由前面的两个特殊位置和特殊值，均得到3这样的结论。不禁要问：这是偶然吗？还是有什么共同的隐性条件决定着这样的结论。接着观察我们不难发现这个3都和30°角有关，再结合条件：O为BC、EF的中点，我想我们会很容易想到连接OA和OD。这正是我们解决这个问题的突破口。endprint

第四步：梳理环节，充实证明。由刚才添的辅助线OA、OD，再加上要研究的两边AD、BE，不难发现这些线段都集中在△AOD和△BOE中，其中OA、OD、OB、OE四边又成比例，再加上已经有比值是3这个明确结论，所以容易联想到证这两个三角形相似。已经有四边成比例，所以只要再加夹角∠AOD和∠BOE相等。

（二） 典例2：若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”。如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形。根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半。根据以上信息回答：

（1）矩形“奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；

（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°。求“奇妙四边形”，ABCD的面积；

（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是“奇妙四边形”作OM⊥BC于M。请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论。

实践2：针对第（3）问

第一步：寻找特殊位置（如图）。让AC与BD都经过圆心，且互相垂直，则四边形ABCD是正方形，显然AD=BC=AB=2OM。

第二步：猜想AD=2OM。

第三步：根据猜想出的结论的特征及方法探索本题的证明过程。

方法1：构造与AD相等的线段且与OM有2倍关系。由于有明确的结论，又有2倍作引导，因此想到了三角形的中位线。M是BC的中点，O是谁的中点呢？显然是直径的中点，所以有了作经过C点的直径CE。接下来就是探索为什么CE=AD。由于它们都是圆O的弦，通过圆周角来证也是很常规的思路。

方法2：取AD的一半并证明与OM相等。弦的一半容易联想到的是垂径定理，所以过O点作AD的弦心距OE，然后通过△AOE与△BOM全等证明AE=OM即可。

第四步：梳理过程，完成證明。

通过这两个典例，我们可以感受到不管是主观题还是客观题，在“操作——猜想——探究——证明”的理念引导下，我们可以解决一系列的问题，而这个可以解决一系列难题的理念是能在课本例题或教材教法中找到它的原型。尤其是在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示方向，从解决特殊问题的规律中寻求解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决，从而进一步加深对特殊问题与一般问题的相互联系和认识。

四、 课后思考 拓展延伸

如果从特殊到一般是人们认识世界的开始，那再加上从一般到特殊这个认识过程，就是完整的特殊与一般的数学思想了。数学大师希尔伯特曾说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，这种方法是克服很多数学难题的杠杆之一。”下面提供典例3供老师们研究拓展：第一步：特殊位置；第二步：猜想解决新问题的方式方法；第三步：完成求解过程。

典例3：如图1，对于平面上不大于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边界上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则称PE+PF为点P相对于∠MON的“点角距离”，记为d（P，∠MON）。如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于∠xOy，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足d（P，∠xOy）=5，点P运动形成的图形记为图形G。

（1）满足条件的其中一个点P的坐标是，图形G与坐标轴围成图形的面积等于；

（2）设图形G与x轴的公共点记为点A，已知B（3，4），M（4，1），求d（M，∠AOB）的值；

（3）如果抛物线y=-12x2+bx+c经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当d（Q，∠AOB）取最大值时，点Q的坐标。

《数学课程2011》中明确描述课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。所以，在数学教学中，作为一线教师更要注重引导学生探索数学问题的解法，同时注重数学思想方法的渗透，时刻做一个“归纳”“猜想”者，力求做到“做一题、通一片，会一类”，让学生走出题海、学会思考、善于思考，提高四个能力，落实核心素养的实施。

作者简介：

毛燕玲，浙江省衢州市，浙江省衢州市菁才中学。endprint