巧用偏转角关系式 速解平抛运动问题

■云南省施甸县第一中学 蒋金团

平抛运动是仅在重力作用下的匀变速曲线运动,其轨迹为抛物线,一般分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。求解平抛运动问题的思维方法很多,下面主要应用平抛运动的基本规律和一个重要的推论——偏转角关系式巧解几个平抛运动问题。

一、偏转角关系式的推导

图1

如图1所示,一个小球以初速度v0做平抛运动,将平抛运动分解成水平分运动和竖直分运动,构造出速度三角形与位移三角形,则末速度与初速度间的夹角α为速度偏转角,合位移与初速度间的夹角θ为位移偏转角。根据平抛运动的规律可得,速度偏转角的正切值位移偏转角的正切值由以上两式知tanα=2tanθ,该式被称为偏转角关系式。

注意：(1)偏转角是相对初速度而言的,利用几何关系找角时不能和对应的余角混淆;(2)两个偏转角的正切值满足2倍关系,但两个角度不满足2倍关系,且速度偏转角大于位移偏转角;(3)求解平抛运动问题实质上是解速度三角形和位移三角形,偏转角关系式将这两个三角形的信息联系在一起,实现了位移信息和速度信息的快速互通。

二、偏转角关系式的运用

图2

例1如图2所示,轰炸机沿水平方向匀速飞行,到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹,并垂直击中山坡上的目标A。已知目标A离地高度为h,山坡倾角为θ,则由此可算出( )。

A.轰炸机的飞行高度

B.轰炸机的飞行速度

C.炸弹的飞行时间

D.炸弹投出时的动能

图3

解析：如图3所示,速度偏转角为,位移偏转角为α,根据偏转角关系式得tanα=

在△OAD中,OD=AD·tanα=BC·所以OB=选项A正确。根据平抛运动规律得解得飞机的速度选项B正确。炸弹做平抛运动的时间选项C正确。因为不知道炸弹的质量,所以选项D错误。答案为ABC。

小结：本题利用偏转角关系式实现了各个三角形间的几何联系。在找两个偏转角时,必须严格按照定义寻找,不能出现细节上的错误,比如本题中的速度偏转角不是θ,而是它的余角。

图4

例2如图4所示,一质点以速度v0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出,落到斜面上的M点且速度水平向右。现将该质点以速度2v0从斜面底端朝同样的方向抛出,落在斜面上的N点。下列说法正确的是( )。

A.落到M、N两点的时间之比为1∶2

B.落到M、N两点时的速度之比为1∶1

C.M、N两点离地高度之比为1∶2

D.落到N点时的速度方向水平向右

图5

解析：质点落到M点时的速度水平向右,因此质点从斜面底端运动到M点的斜抛运动可以看成逆向的平抛运动(如图5所示)。找出两个对应的偏转角,则速度偏转角为α+θ,位移偏转角恰等于斜面与水平方向间的夹角θ,根据偏转角关系式得tan(α+θ)=2tanθ。质点以速度2v0抛出时,设运动到K点时的速度方向水平向右,则质点从斜面底端运动到K点的斜抛运动可以看成逆向的平抛运动(如图6所示),同理得tan(α+θ)=2tan(θ+β)。对比以上两式得β=0,即K点与N点重合。设质点从M点和N点运动到斜面底端时的水平分速度分别为vx1和vx2,竖直分速度分别为vy1和vy2,竖直分位移分别为y1和y2,根据平抛运动规律得vM=vx1=v0cos(α+θ),vN=vx2=2v0cos(α+θ),tM=即vM∶vN=1∶2,tM∶tN=1∶2。由2gy得y1∶y2=1∶4。答案为AD。

图6

小结：求解本题用到了两个技巧,一是将斜抛运动逆向看成平抛运动,二是巧妙运用偏转角关系式证出质点落到N点时的速度沿水平方向。

图7

例3如图7所示,水平地面上有一个坑,其竖直截面为半圆,ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度v0沿水平方向向右抛出一小球,则小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面间的距离为圆半径的一半,则圆的半径R等于( )。

图8

解析：如图8所示,由几何关系得, 因此根据分速度公式得v=y根据偏转角关系式得tanα=2tanβ,解得R=答案为B。

小结：求解本题需要先用R表示出分速度和分位移,进而求出两个偏转角,再代入偏转角关系式求出R。

跟踪训练

图9

1.如图9所示,一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时,其速度方向与斜面垂直,运动轨迹如虚线所示。小球在竖直方向与水平方向上通过的距离之比为( )。

图10

2.如图10所示,一演员表演飞刀绝技,由O点先后抛出完全相同的三把飞刀,分别垂直打在竖直木板上的M、N、P三点。假设不考虑飞刀的转动,并可将其看成质点,已知O、M、N、P四点距离水平地面的高度分别为h、4h、3h、2h。下列说法正确的是( )。

A.三把刀击中木板时的动能相同

C.三把刀初速度的竖直分量之比为3∶2∶1

D.设三把刀的初速度与水平方向间的夹角分别为θ1、θ2、θ3,则θ1＞θ2＞θ3

参考答案：1.B 2.D