初中数学教育中数学史的价值研究

苏汉培+郑成勇

【摘要】在新课改的背景下，研究数学史对数学知识与技能以外的价值与影响具有重要意义.本文在对初中数学教科书上的数学史材料进行分析、分类、总结的基础上，研究数学史对于初中数学学科教学中数学思考、情感态度的价值与作用，并探讨数学史在数学学科教学以外的教育影响（如德育影响等）.指明数学史不仅对于数学思考、情感态度的教育有实践与应用的价值，在学科教学以外，也能产生有价值的教育影响.

【关键词】数学史；初中数学

一、初中数学教材中数学史的现状

本文以人教版为例，选取了人教版数学教材7年级上册—9年级下册，通过翻查，检阅并一一记录，发现人教版数学教材中在数学史的使用数量上有73处.内容上多集中在几何与代数上，如“勾股定理”“七桥问题”“斐波那契数列”等，数学名人名著上，本国数学名人名著的介绍要多于外国数学名人名著的介绍.史料来源上，多集中在古代，少有近代及现代的介绍.

在材料类型的分类上，选用华东师范大学数学系的汪晓勤教授所建立的分析框架.将材料类型分为点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式五类，每类的标准见下表[1].

材料类型标准

点缀式孤立的图片，如数学家画像、数学图案、反映数学主题的绘画或摄影作品等

附加式文字阅读材料，包括数学家生平、数学概念和符号、思想的源泉、历史上的数学问题、思想方法等

复制式正文各栏目中直接采用历史上的数学问题、问题解法、定理证法等

顺应式正文各栏目中对历史上数学问题进行改编，使之具有适合于今日课堂教学的情境或属性

重构式正文各栏目中借鉴或重构知识的发生、发展历史，以发生法来呈现知识

图1 初中数学教材的数学史运用情况

在上述数学史材料的分类标准下，本文发现，人教版数学教材7年级上册—9年级下册中，附加式的材料有35处，顺应式的材料有22处，复制式的材料有13处，重构式和点缀式的材料分别有2处.建立饼状图如图1所示.从图1可以看出，数学史材料以附加式为最多，为47%，不利于将数学史融入实际教学当中；点缀史与重构式所占比例很少，对直观教学的帮助不大；顺应式占比为30%，在将数学史融入实际教学中的效果不突出.总体来说，教材中数学史教学受到足够的重视，但是对数学史的处理方式过于简单，同时也不利于将数学史融入实际教学当中.

二、数学史对数学思考的价值

数学思考，就是在面临各种现实的问题情境，特别是非数学问题时，能够从数学的角度去思考，自觉应用数学的知识、方法、思想和观念去发现其中所存在的数学现象和数学规律，并运用数学的知识和思想方法去解决问题[2].数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.我们的生活离不开数学，当然也就离不开数学思考.数学思考从哪里来，从数学教育中来.良好的数学教育不仅传承和发展人类优秀的文化，还要发展学生的思维能力和创造想象能力，提升学生的理性思维、审美智慧和创新精神，还要让学生经历数学发现的过程，学会“数学地思考”问题.

数学思考包括的内容[3]：

1.建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维和抽象思维.

2.体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象.

3.在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法.

4.学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.

我们可以发现，新课标提出的十大核心概念基本上是融合在数学思考内容里的.从这里可以看出，培养学生的数学思考多么重要.知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体.数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现.这些目标的整体实现，才能使学生受到良好的数学教育.

在数学史中，有丢番图的墓志问题[4]：“他的生命的六分之一是幸福的童年.再活十二分之一，颊上长出细细须.又过了生命的七分之一才结婚.再过5年他感到很幸福，得了一个儿子.可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半.儿子死后，老人在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯.”

这个问题很容易转化为方程求解的问题，这个数学史的经典例子来源于生活，具有直观性，对于启发学生将问题转化为方程来求解无疑有极大帮助.

又如，如图2所示的柯尼斯堡七桥问题[4]：“18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如图2右所示）.有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点？”

图2 柯尼斯堡七桥问题

通过一个直观又看似简单的问题进而延伸到一笔画问题——拓扑问题等数学问题.不但加强学生的对数学本质的理解，也启发学生的数学思考.

三、数学史对情感态度的价值

情感态度的内容包括：

1.能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲.

2.在數学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

3.初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性[3].

4.形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯.

同时，《数学课程标准》强调，数学教学要使“学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”.这就告诉我们：数学教学的过程，既是认知活动的过程，也是情意活动的过程.而直观性、启发性的原则对情感态度与价值观塑造要求要以具体材料为依据.数学本身是抽象的，在情感态度与价值观塑造上不能起很大的作用，而数学史在直观材料上起到很好的补充.endprint

以三次数学危机为例：

第一次数学危机是由希帕索斯发现数学史上第一个无理数2而导致的.小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰（毕达哥拉斯学派认为所有数都能以整数或整数比的形式表达），使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击.

第一次数学危机的例子在初中无理数教学中，让第一次接触无理数的学生直观地感受到数学活动充满着探索与创造，数学的严谨性以及数学对实事求是的态度.

第二次数学危机源于微积分工具的使用.伴随着人们科学理论与实践认识的提高，17世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现.这一工具一问世，就显示出它的非凡威力.许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌.但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的.两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的.经过柯西用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论才得以发展和完善.

这一例子展现了数学的严谨性、逻辑性.有助于学生形成严谨认真的思考方式，树立起求真求是的价值观.

第三次数学危机是由于“罗素悖论”使得康托尔的集合论出现矛盾，现代数学的基础受到挑战.数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，而这个问题至今仍没有完美解决.

“理发师悖论”是介绍第三次数学危机的一个浅显易懂的解释.这以例子一下子就极大地拉近了学生与最前沿数学的距离.不但能极大地激发学生对数学的好奇心与求知欲，也让学生对数学本质有了更深刻的了解.培养起学生对待科学问题上“学无止境”的态度.

四、数学史对德育的价值

（一）数学史有助于国际主义教育

最明显的例子就是阿拉伯数字的起源，这种由印度人发明的数字，经阿拉伯人传向欧洲，之后再经欧洲人将其现代化，才有了我们今天所熟知的阿拉伯数字.这表明数学的诞生与成长不仅是数学家们努力的成果，同时也是国际交流的成果.对于培养学生开放、包容的思想无疑有重大启发.

（二）数学史有助于爱国教育

我国古代著名数学家祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.141 592 6和3.141 592 7之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.141 592 6，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家.祖冲之还给出圆周率（π）的两个分数形式：227（约率）和355113（密率），其中密率精确到小数第7位[4].祖冲之对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献.这一例子无疑大大提高学生的自信心，也对激励学生勇于探索，为国家的数学发展做贡献起到榜样作用.

（三）数学史有助于建立辩证唯物主义的世界观

数学史上的三次数学危机客观上揭示了数学的矛盾运动过程，它表明数学不是完美无缺的，不是停滞不前的.数学的发展是其矛盾运动的结果.

（四）数学史展现了数学家为真理而献身的高尚情操与伟大人格

希帕索斯因发现无理数而葬身大海，阿基米德因着迷于数学研究而死于罗马士兵剑下，伽利略、哥白尼因坚持日心说而遭教会迫害.许多数学家因为坚持真理，追求真理而遭受贫苦、不公和迫害，但正是因为他们的坚持与努力，才有了现在数学大厦的辉煌，才有了现在人类文明的伟大.他们的高尚情操与伟大人格激励着一代又一代学子追求真理，勇攀科学的高峰.

五、总 结

数学史无疑具有重要价值，是初中教育中不可或缺的一部分.在数学教育上，数学史有助于学生建立起数学思考的习惯，严谨认真的情感态度.在其他方面，如德育上，能让学生领会到热爱科学、坚持真理的道理.

【参考文献】

[1]张小明.中学数学教学中融入數学史的行动研究[D].上海：华东师范大学，2006.

[2]宋乃庆，徐斌艳.数学课程导论[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

[3]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书·数学[M].北京：人民教育出版社，2013.

[5]王青建，陈洪鹏.《数学课程标准》中的数学史及数学文化[J].大连教育学院学报，2009（4）：40-42.endprint