关于如何学好充要条件的一些思考

李彦喆

【摘要】充要条件是数学学习，特别是数学逻辑推理的重要基础，也是中学数学学习的难点.本文从联系日常语言，结合简单数学命题，利用命题等价性，利用集合间的包含关系等四个方面思考如何更好地理解和判断充要条件，希望能对充要条件的学习提供一定的借鉴价值.

【关键词】充要条件；理解；判断

中学数学选修内容的第一章是简易逻辑，其中的充要条件是重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习，特别是数学逻辑推理的学习打下基础，同时它又是准确定义其他概念、定理的载体.但身边的很多同学总是弄不清充分不必要、必要不充分、充要到底是怎么回事，教师也说充要条件的判断是中学生数学学习中的一个难点.通过教师的讲解和自己的琢磨，笔者发现是教材中的定义方法不易被理解，作为高中生怎样学好充要条件，笔者的分析如下.

一、联系日常语言理解充分条件与必要条件

数学上的充分条件、必要条件的“充分”“必要”两词，与日常生活中的“充分”“必要”意义相近，因此，可以通过生活实际理解充分条件与必要条件.例如，适当的温度是种子发芽的必要条件，意思是没有适当的温度，种子就不会发芽，“适当的温度”这个条件对“种子发芽”这个结论是必不可少的.再如，天下雨是道路湿的充分条件，意思是只要有“天下雨”这个条件就有“道路湿”这个结论.“天下雨”这个条件对“道路湿”这个结论的成立是充分的.生活中的“只要”有什么样的条件就有什么样的结论，其实说的就是“条件”是“结论”的充分条件.日常语言中的要达到什么样的“结果”，“必须”有什么样的“条件”，其实说的就是“条件”是“结果”的必要条件.

这样就很容易明白除了极个别的特例，通常情况下，勤奋是成为学霸的必要条件，不是充分条件，也不是充要条件.因为大家都知道，勤奋不一定能成为学霸，而哪一个学霸不是辛勤努力的结果？勤奋不等于学霸，所以勤奋也不是成为学霸的充要条件.

数学语言来自于生活语言，所以，在学习中，要利用对“充分”“必要”的感性认识理解数学中的充分条件与必要条件的概念.

二、结合简单的数学命题掌握充分条件与必要条件

有了对“充分”“必要”的感性认识，结合比较简单的数学命题，就能够切实理解教材中的定义.例如，x=0是xy=0的充分条件，我们可以说，只要有“x=0”这个“条件”就有“xy=0”这个“结论”，条件“x=0”对结论“xy=0”是充分的.一般地，如果命题若p则q为真，即条件p结论q，则条件p是结论q的充分条件.

如果以“xy=0”为条件，“x=0”为结论，因为xy=0x=0，所以条件不是结论的充分条件，而没有“xy=0”這个条件就没有“x=0”这个结论，也就是说，条件“xy=0”对结论“x=0”的成立是必要的，正如前面所说“适当的温度”是“种子发芽”的必要条件，其中蕴藏着结论能够推出条件一样，我们说条件“xy=0”是结论“x=0”的必要条件，其实是因为结论“x=0”能够推出条件“xy=0”.一般地，如果结论q条件p，则条件p是结论q的必要条件.

如果条件p结论q且结论q条件p，即条件p结论q，那么，条件既是结论的充分条件又是结论的必要条件，即条件是结论的充要条件.

从以上定义的产生过程中不难看出，判断充分必要条件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，条件是否能推出结论，结论是否能推出条件.还要清楚，充分条件、必要条件主要是对准条件说话的.

三、用命题的等价性判断充分必要条件

四个命题与充分必要条件的关系可归结为：

1.如果原命题为真，即条件p结论q，而其逆命题为假，即结论q条件p，则条件是结论的充分而不必要条件.

2.如果原命题为假，而逆命题为真，即条件p结论q，但结论q条件p，则条件p是结论q的必要而不充分条件.

3.如果原命题和逆命题同真，则条件是结论的充要条件.

4.如果原命题与逆命题同假，则条件既不是结论的充分条件，也不是结论的必要条件.

所以，我们判断了原命题和逆命题的真假就判断了条件的充分性与必要性.在判断一些命题的真假时，还可以利用四种命题的等价性，即原命题与逆否命题同真假.

例如，（x-2）（x-3）≠0是x-2≠0的什么条件？

因为原命题的逆否命题是：若x-2=0，则（x-2）（x-3）=0，显然为真，所以原命题为真，而原命题的否命题“若（x-2）（x-3）=0，则x-2=0”为假，所以原命题的逆命题为假，从而得到本题中的条件是结论成立的充分而不必要条件.

四、利用集合间的包含关系判断充分条件与必要条件

我们把条件p所反映的内容（可以是数、点或图形等）用集合P来表示，把结论q所反映的内容用集合Q来表示，若条件p结论q，那么，如果元素x∈P，则x∈Q，即PQ.从集合角度理解：

1.pq，当于PQ，即 或 .

即要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行，所以条件是结论的充分条件.

2.qp，相当于PQ，即 或 .

即为使x∈Q成立，必须使x∈P——缺它不行.

3.pq，相当于P=Q，即 .

即条件和结论刻画的是同一事物，能够互相推出.

从集合的角度判断充要条件，可以解决一些比较复杂的问题.

例如，p：x=2或x=3，q：x-3=3-x，p是q的什么条件？

解 方程x-3=3-x的解集为Q={x|x=3}，

P={x|x=3或x=2}，Q={x|x=3}，所以，PQ，p是q的必要不充分条件.

再如，p：x2x+3=x2，q：2x+3=x2，p是q的什么条件？

方程x2x+3=x2的解集为P={x|x=0或x=3}，

方程2x+3=x2的解集为Q={x|x=-1或x=3}，集合P和集合Q没有包含关系，所以，p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.

联系日常语言理解“充分”“必要”的意义；结合简单数学命题掌握充分条件和必要条件的概念；灵活运用命题的等价性，通过判断原命题和逆命题的真假达到判断是充分条件还是必要条件的目的；从集合的角度深化对充要条件概念的认识，运用集合的包含关系判断条件和结论的关系，进而得到判断充要条件的一般解题策略.当然，我们还需要把其他章节的数学基础知识学好，才能把充要条件的题目一网打尽.

【参考文献】

[1]付志周.充要条件的简易判定法[J].科学咨询（科技·管理），2016（2）：100-101.

[2]王银.充要条件的理解[J].教育教学论坛，2011（30）：243-244.

[3]王贵友.充要条件的判断与证明[J].硅谷，2008（1）：55-56.

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