行列式扩阶的初步研究

冯玉明+陈贾

【摘要】对一个行列式的扩阶指的是：在已知行列式中，添加适当的行和列，得到新的行列式，使得该行列式的值与已知行列式的值相等.本文利用行列式的基本性质，对行列式扩阶进行了初步研究，得到了一些有意思的结果.

【关键词】矩阵；行列式；扩阶

一、预备知识

通过文献[1]我们知道行列式的基本算法和表示方法.现在我们看一看如何表示和计算一个矩阵的行列式.

n阶矩阵A的行列式，记做

D=|A|=a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann.

矩阵A的行列式也可以定義为

D=|A|=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn，

其中i1i2…in为n个自然数1，2，…，n的一个排列，t（i1i2…in）为i1i2…in排列的逆序数.

对于n各不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序，在这n个元素的任意排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序.一个排列i1i2…in中所有逆序的总数称为这个排列的逆序，记做t（i1i2…in）.

n阶行列式中，把元素aij所在的第i行及第j列划去后，留下的（n-1）2个元素按照原来的排法构成的n-1阶行列式称为元素aij的余子式，记Mij.

Mij冠以符号（-1）i+j得Aij=（-1）i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.

定义1.1[1] 设A=（aij）是n阶矩阵，D=|A|，那么

（1）D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.（i=1，2，…，n）

（2）D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj.（j=1，2，…，n）

二、主要结论

定理2.1 在n阶行列式中每个相邻元素间插入0，其他空余位置插入1，行列式结果不变.

证明 经计算可以知道

a11a12…a1na21a22…a2nan1an2…ann

=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn，

a110a120…0a1n0101…10a210a220…0a2n01001000101…10an10an20…0ann

=∑i1i2…in（-1）t（i1i2…in）ai11ai22…ainn.

因此，定理结论正确.

【参考文献】

[1]张志让，刘启宽.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2008.endprint