洞察关联 拓展思维

周森宇

大千世界万象纷繁，但剥去其表象，洞察其本质，则会发现事物之间往往存在关联。这是我在阅读哲理书籍和观察大千世界后得出的结论。如果把这一结论应用于数学学习，不仅可以有效提高学习效率，还能体会思维拓展的乐趣。

高中阶段涉及的数学定理难度颇高，知识点众多，解题思路千变万化。面对具有挑战性的茫茫题海，如何快速形成有效的解题思路是关键。

如何构建有效的解题思路？首先要快速定位题目涉及哪些知识点，再在脑中激活相应的定义、定理或公式，并判断题目的难易程度。

我结合四道数学题，具体讨论如何使用洞察关联的方法快速有效地形成解题思路。

一、一元二次不等式题型巧用关联法

不等式的基本考点多为相对简单的不等式求解集，但也有灵活变通的题型。如果注意洞察题与题之间的关联，解题效率会大大提高。

题1：不等式-2x2+x+3<0的解集是_________。

解析：本题的求解思路为：将-2x2+x+3=0求解得出等式的根，再结合该等式对应的抛物线在坐标图中的开口方向（如下图），进而得出不等式的解集为{x|x>■或x<-1}。

题2：不等式ax2+5x-2>0的解集是{x|■0的解集是_________。

解析：该题属于灵活变通类题型，题眼在于求出a的数值。如果求出a后，把a的数值代入ax2-5x+a2-1>0后，则解题套路与题1一模一样。而在求a的数值时可逆向運用题1的解题思路。具体求解过程如下。

解：由不等式的抛物线特性及第一个不等式的解集可知，a<0，且■、2是方程ax2+5x-2=0的两个根，由韦达定理根与系数的关系得■×2=-■，解得a=-2。所以可将ax2-5x+a2-1>0化为2x2+5x-3<0，即（2x-1）（x+3）<0，类比题1的解题方法，易解得﹣3

二、等比/等差数列题型巧用关联法

等比/等差数列对学生而言一直都是难点，但当学会运用关联法，洞察到题与题的本质联系，问题就可迎刃而解。

题3：在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n。

解法一：本题的直观解法为使用求和公式（易知公比不是1，可使用求和公式）：

■=48 ①

根据已知条件

■=60 ②

通过②÷①得：1+qn=■，即qn=■ ③

③代入①得■=64

∴S3n=■（1-q3n）=64（1-■）=63

解法二：由等比数列的性质可知，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，即：■=■=q。代入Sn、S2n值，可得S3n=63。

本题考点为等比数列求和公式及其应用。解法一套用求和公式解答。解法二则运用等比数列的性质解答，该解法简洁省时，更巧妙。在本题的基础上，请观察下题。

题4：在等差数列{an}中，已知Sn=6，S2n=21，求S3n。

解：由等差数列的性质可知，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等差数列，即（S3n-S2n ）-（S2n-Sn）=（S2n-Sn）-Sn=d。代入Sn、S2n值，可得S3n=45。

题4与题3同属数列题，因此也可直接运用数列的性质求解。题4直接运用数列性质求解，更省时省力。

在数学题海中，很多题目之间是有联系的，如果能洞察其中的关联，就相当于一眼识破了其中的解题秘密，这样就能利用已有的解题经验拓展出新的解题思路。

“洞察关联，拓展思维”，这是我们学好数学应牢记的心法正道。