轨迹方程思想的妙用

摘 要：本文选用了几个经典例子（含2题江苏省高考题），以此来阐述轨迹方程思想在江苏高考数学填空题中妙用。

关键词：轨迹；方程；圆；最值；参数

我们先呈现今年江苏高考13题：

在平面直角坐标系xOy中，A（-12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若PA·PB≤20，则点P的横坐标的取值范围是 。

剖析：本题中动点P满足两个条件，分别考虑其轨迹，一为圆，另一为圆面，根据题意知它们有公共点，进而得解。

解：满足PA·PB≤20的点P的轨迹方程为（x+12）x+（y-6）y≤20，是以圆T：（x+6）2+（y-3）2=65为边界的圆面，又点P在圆O：x2+y2=50上，故满足题意的点P在图中圆T内圆的弧MN上，又xM=1，故P的横坐標的取值范围是[-52，1]。

由此题不禁想到08年江苏高考13题，题中曾引起大家热议的阿波罗蒂斯圆问题，其实也是轨迹方程思想的运用，下面我们来看：

08年江苏高考13题：

在△ABC中，已知AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值是 。

剖析：建系，求出C点轨迹，求出其到AB的最大值即可。

解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则得A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），则由AC=

2BC得C点轨迹方程为（x-3）2+y2=8，故△ABC以AB为底时高最大为22，所以S△ABC的最大值是22。

此类题目的关键在于区别动点和定点，动静结合，动定点的互化，进而得到动点满足的关系式，得到动点的轨迹方程，从而从容的解决此类问题。此类问题又常常将动点的关系进行掩盖，这就需要我们构造出来并建立其关系式。

例 已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M、N为圆O上的不同的两点，且满足PM·PN=0，

若PQ=PM+PN，则|PQ|的最小值是 。

解：如图，取MN的中点T，由PM⊥PN知PT=MT=NT，故16=OT2+MT2=OT2+PT2（注：此式中只有T为动点），所以T点的轨迹方程圆C：x-122+（y-1）2=274，又PC=52，故PT的最小值是332-52，又|PQ|=2PT，所以|PQ|的最小值是33-5。

从这里我们看到，填空题中我们要注意一些动点，考虑能否求出其轨迹，往往有奇效，最后，我们留个类似的题目：

已知点A（3，4），点P在圆C：（x-2）2+（y-1）2=1上，点Q是y轴上一点，则|AP+AQ|的最小值为

。

作者简介：戴天竹，江苏省苏州实验中学。endprint