运用数形结合，依托表象思维，培养数学思想

福建省泉州市丰泽区实验小学 王凤龙

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”数学思想有许多，而数形结合思想就是其中一种重要的思想。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事休。”这句话足以证明“数形结合”在数学中的重要地位。下面就“数形结合”思想在小学数学教学中的应用谈些粗浅的想法。

一、数形结合，直观理解，建构概念

课标指出：几何直观可以帮助学生直观地理解数学。数学概念的引入是学生形成概念的初始阶段，是学生学习概念十分重要的环节。小学生以形象思维为主，在概念学习的初始阶段，需要教师为学生提供实物、图形等直观材料，帮助学生在直观感知的基础上形成表象，深入理解，达到自主建构的目的。

例如北师大版三年级上册《平均分》一课，教师首先提供了大量的直观材料，有平均分与非平均分的图，引导学生观察并思考：“如果让你分类，你准备怎么分？”学生激动兴奋地回答：“可以把平均分的分一类，没平均分的分一类。”在教师的启发下，学生有了多种优化的分法。教师根据学生的回答，隐去不平均分的，留下平均分的，制作出平均分成2份、平均分成3份、平均分成4份等的表格。学生经过观察、辨析、比较，初步形成了“整体与部分”的关系表象。有了平均分的丰富体验后，教师又出示1个蛋糕平均分的过程：一个蛋糕用1表示，把它平均分成两份，其中一份还能用1表示吗？学生的认知一下子产生了冲突，一个新的数“二分之一”产生了，学生通过语言、动作等多种表征后，对蛋糕的二分之一有了初步的建构，并迁移到三角形的二分之一、圆形的二分之一等。教师不失时机地追问：“这些图形的形状、大小都不同，为什么都能表示二分之一？”学生再次产生思维的碰撞，在深入的讨论、观察、比较中，培养了学生透过现象发现其中本质的能力，学生对分数的内涵形成了更深刻的认识。

又如，“近似数”一课中，让学生掌握用“四舍五入法”求一个数的近似数是本节课的教学重点。通常我们会直接告诉学生“四舍五入法” 这一概念，然后通过大量的练习来强化求近似数的方法。那么我们不妨反思：学生做对了是否表明学生已经很好地理解了“四舍五入法”的含义呢？是否有部分学生的解题活动完全建立在对概念的机械模仿上呢？事实上，这种机械模仿的情况是客观存在的。如何帮助学生从本质上理解“四要舍、五要入”的意义呢？我们可以想到把直观的数轴引进这节课，在数轴上找最近的路，把四舍五入放到数轴上展开学习，利用数形结合帮助学生建立一个形象的数学模型，从而加深学生对“四舍五入法”的理解。

正因为教师充分采取数形结合的教学策略，引导学生依托鲜活的“形”去思考凝练的“数”，让学生用图形说话、用图形描述问题、用图形讨论问题，形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。

二、数形结合，演绎归纳，理解算理

在数的运算教学中，对于一些抽象的数学知识、运算定律等，可以充分利用图形的几何直观，通过数形结合的方法，帮助学生理解和接受抽象的内容与方法，把握运算的本质，促进学生的数学思维。算理是四则运算的理论依据，是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的，它是计算的原理与依据，而运算法则是四则运算的基本程序和方法。教学中要让学生在理解算理的基础上掌握算法，即“知其然又知其所以然”，可以以图形为载体，巧妙地将算式与直观图形相结合，把抽象的算理具体化、形象化，运用直观模型来帮助学生感知与理解算理。

例如在北师大版四年级上册《乘法交换律和乘法结合律》一课，教师在一个集合圈中分别放了一堆红色、蓝色圆片，让学生观察思考：是红圆片加蓝圆片多，还是蓝圆片加红圆片多？学生通过直观图形，清楚地看明白无论怎么加，都是求这两种圆片的总数，是一样多的。教师接着出示3×4与4×3 方块图的集合圈，让学生明白两种乘法都是求一共有多少个方块。好的教学一定是源于对内容本质的理性把握与深刻分析。实践证明，图形的支撑丰富和深化了学生对运算定律内涵的认识，更利于帮助学生建构运算律的模型，进一步帮助学生积累研究问题的经验与方法，发展数学思维能力。

三、数形结合，灵活机变，解决问题

运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，化难为易，能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力。

如教学《圆的面积》后，教师提问：正方形的面积为8平方厘米，从中截取一个最大的圆，圆的面积是多少？学生遇到这样的问题往往会觉得无从下手。这时，几何直观可以充分发挥其效力：帮助学生直观地理解数学。把正方形平均分成四个小正方形，每个小正方形的面积就是2平方厘米。学生通过观察可以发现，每个小正方形的边长正好是圆的半径。由此可知，圆半径的平方就等于2平方厘米。学生一下子豁然开朗，解答本题，并不需要“按常规”“走老路”，而是灵活机变地另辟蹊径，从圆的半径的平方入手。

这样借助图形的直观教学，可以让学生的思维“跳出圈子”，以更灵活的角度来思考、分析、解决问题。经过这样灵活变通的学习过程，培养了学生勇于尝试、探索创新的精神，提高了学生解决问题的能力。

思维作为一个认知过程，总是与个体的动机、兴趣情感等密切联系并受其制约，相信只要不断激发学生的兴趣，启迪学生的动机，就能够有效地增强学生的逻辑思维能力和空间想象能力。巧妙地渗透、应用数形结合思想，既能为小学数学教学开辟一片广阔的天地，又能为学生的终身学习和可持续发展奠定扎实的基础。