一元二次方程应用题的几类经典题型

摘要：列一元二次方程解应用题的关键是：弄清已知量与未知量，分清它们之间的数量关系，从而将实际问题转化为方程模型，本文举例说明列一元二次方程解应用题的几类常见的典型题目。

关键词：应用题；增长率；利润；探索；数字问题

列一元二次方程解应用题是中考的重点内容，也是进一步学习二次函数的基础，要认真地审清题意，弄清已知量与未知量，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系。假设未知数分直接假设和间接假设，应根据题目中的数量关系正确设出未知数。现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见几类的典型题目，举例说明。

一、 增长率问题

【例1】为了进一步发展水利工程，服务农业，自2015年以来，某乡镇加大了水利工程经费的投入，2015年经费6000万元，2017年水利工程经费8640万元。假定该镇这两年投入水利工程经费的年平均增长率相同。

（1）求这两年投入水利工程经费的年平均增长率；

（2）如果该镇水利工程经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2018年该镇投入水利工程经费多少万元？

解：（1）设這两年投入水利工程经费的年平均增长率为x，由题意得

6000（1+x）2=8640，解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）。

答：该这两年投入水利工程经费的年平均增长率为20%；

（2）8640×（1+0.2）=10368（万元），

答：2018年该镇投入水利工程经费10368万元。

二、 商品的利润问题

【例2】某商场准备进一批服装，单价40元。经市场预测，销售定价为52元时，可售出180件，定价每增加1元，销售量净减少10件；定价每减少1元，销售量净增加10件。因受库存的影响，每批次进货件数不得超过180件，商场若想获利2000元，则应进货多少件？定价为多少元？

解：设每件商品的定价是x元，由题意得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，整理得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60。当x=50时，进货件数为180-10×（50-52）=200>180，不符合题意，舍去；当x=60时，进货件数为180-10×（60-52）=100<180，符合题意。

答：当该服装每件定价为60元时，进货100件，可获利2000元。

三、 列一元二次方程解决与几何图形有关的问题

【例3】如图，某小区有一块长40m、宽32m的长方形地块要种植花圃，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽。

解：设小路的宽为xm，依题意有

（40-x）（32-x）=1140，

整理，得x2-72x+140=0。

解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）。

答：小路的宽应是2m。

说明：本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式。另外求出4块种植地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键。

四、 探索存在问题

【例4】将一条长为20m的围栏分成两段，并以每一段围栏的长度为周长做成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于13m2，那么这段围栏剪成两段后的长度分别是多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于11cm2吗？若能，求出两段围栏的长度；若不能，请说明理由。

解：（1）设剪成两段后其中一段为xm，则另一段为（20-x）m。

则根据题意，得x42+20-x42=13，解得x1=12，x2=8，

当x=12时，20-x=8，当x=8时，20-x=12，

答：这段围栏剪成两段后的长度分别是8m和12m。

（2）不能。理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ym，则另一段为（20-y）m。则由题意得y42+20-y42=11，整理，得y2-20y+112=0，移项并配方，得（y-10）2=-12<0，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为 11m2。

五、 数字问题

【例5】有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和是8。把这个两位数的个位数字与十位数字互换后得到另一个两位数，两个两位数的积为1612。求新的两位数。

解：设新的两位数的个位数字为x，则十位数字为8-x。

依题意得：（10x+8-x）[10（8-x）+x]=1612，

解得 x1=2，x2=6，

当x=2时，8-x=6，新的两位数是62；当x=6时，8-x=2，新的两位数是26。

答：新的两位数是26或62。

综上所述，列一元二次方程解应用题要认真审题，关键是找出等量关系，可以通过关键词语寻找，也可以通过学过的公式、规律寻找；要归纳解决实际问题的一般歩骤，体会方程的建模思想、数形结合思想的运用；求出未知数的值后，要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义。

作者简介：

李志若，福建省泉州市，泉州师范学院附属鹏峰中学。endprint