利用多种数学模型“点睛”数的认识

浙江杭州市余杭区长乐中心小学 张 弘

浙江杭州市余杭教育学院 钟 立

在小学阶段，数的认识是数与代数领域的重要内容。数的认识一般除包括数数、数的读写、数的顺序、数的大小、数的组成，还包括数的产生与发展过程、数在不同情境中的多种含义等，这对以具体形象思维为主的小学生来说，理解数的意义有一定的困难。

数尺、数轴、百格图、百数表是数的认识教学中常用的教具或学具，可以称为数学内部模型。从教学实践来看，这些数学模型能变抽象为直观，变静止为动态，揭示了数的形成与发展等，成为学生认识数过程中强有力的“助手”。用好这些数学模型，学生才能更好地理解数学知识。

1.利用数尺或数线来“点睛”数的顺序

数，都是从1、2、3、4……这样的自然数开始的。入学前的儿童虽然能轻松地一个接一个数到一百，但这对一串数中包含的顺序关系、序数与基数意义等可能认识不是很到位。我们需要在数数的基础上帮助学生清晰地认识数的顺序，这就可以利用数尺或数线。因为数尺或数线上的数排列是有规律和方向的，能让学生对数序形成较浅显的感性认识。

比如，教学《10的认识》一课时，“十”是学生数的认识中第一个关键“节点”。因为从一位数到两位数、从计数单位“一”到“十”等有认识的第一次飞跃。本课中，我们可以借助学生一个一个数的经验，充分利用数尺或数线来认识10。人教版一年级上册《10的认识》是利用数尺来说明10的数出及认识10的。

而我们通过教学实践，更希望呈现下面的图（图1）：

图1

出现一个珠子出来一个一，再出现一个珠子出来一个二……直至出现十个珠子出来一个十。上面虽然呈现的只是带有数字的直线（简称为数线），但由于一个珠子与一个数字对应着出现，相比数尺更直观、更形象，可以帮助学生进一步认识数与数的顺序，初步感知数的排列是有规律和方向的，让学生对数序形成较好的感性认识。

2.利用计数器来“点睛”十进制与数位

十进制、位值制是理解计数法的重点，但又由于比较抽象，也是教学难点。如上例中，“十”是学生第一个接触的最能明显体现出“数位”这一概念的数。虽然学生对计数单位“一”有着丰富的认识，但对“满十进一”“十”也是一个计数单位的认识就不到位了、不清晰了，有些学生根本没有意识到“十”也是一个计数单位。这就需要计数器来帮忙。

计数器，在帮助学生建构十进制、位值制概念及相同计数单位数直接加减等核心概念的学习中有着独特的价值。相对于小棒，计数器在数形结合直观展示诸如“数位”“计数单位”等抽象知识，动态展示“满十进一”等方面优势明显，能更好地促进学生抽象思维的发展及上述概念的建构。因此，我们要充分利用计数器向学生直观展示10、20、100、1000等是如何变化来的，以及怎么写的，知道并掌握同一个数字符号在不同的数位上表示不同的数值等，进而理解“数位”及“计数单位”，并感受十进制、位值制的简洁、智慧与优越。（图2）

图2

3.利用数轴来“点睛”数的顺序与估算

我们知道，规定了原点、正方向和单位长度的直线就叫数轴。数轴上的点和实数一一对应。这种对应关系，揭示了数和形的内在联系，成为“数形结合”的基础，使抽象的数变得有“形”可依。正因为数轴能形象地表示数，所以数轴是认数的直观工具。

借助数轴比较数的大小，既生动直观，也便于学生总结比较大小的方法。在数轴上右边的数总比左边的大，因此从左到右形成由小到大的数列。借助数轴上自然“绑定”的数序，在找到数的相应位置之时，就能比较出数的大小，这样不仅能够准确地判断数的大小关系，而且还能够直观地感受“大多少”“小多少”，培养学生估计能力，同时也是数感建立的重要过程。

图3

图4

图3中数轴以其直观的形式，在比较大小中自然地找到了数的位置，并根据一个单位长度代表的数值估计1000在哪里；或者如图4所示，数轴可以根据需要改变一个单位长度代表的数量，有根据地猜测更大的数大概在数轴的哪个位置上，充分感受数与形的结合带给我们认数视觉上的冲击。

所以数轴是我们应认真把握、充分利用的教学资源之一。

4.利用同心圆“点睛”数的组成

数的组成，是数的认识中一个比较重要的部分。数组成的实质是指数群和子群之间存在着的包含、互补和互换的关系。掌握了数的组成，是数群概念得以发展，进一步理解数之间关系的标志，也为学习加减运算打下了基础。掌握数的组成比理解数的实际意义、序数、相邻数都要困难。

数的组成，从理解的角度或过程来看，首先要知道某个数有几级数位、各个计数单位及多少个这样的计数单位。在实践中，可以采用计数器，但更可以采用下面的同心圆来显示不同计数单位的累积而组成的多位数。同心圆，直观显示相同计数单位的叠加过程，与不同计数单位上的数组成一个多位数的过程，既包含数数，又包括数的组成，尤其突出了数的组成，即某个数由多少个千、多少个百、多少个十、多少个一组成。

图5

图5中的两个图显示的是520、204，可以问学生是怎么数出来的？分别是怎么组成的？两个数中都有2或0，表示的意义一样吗？等等。

5.利用百格图“点睛”小数的产生

现行人教版教材在描述小数的产生时，是这样介绍的：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果（图6），这时也常用小数来表示，即古人在测量物体时得不到整数的结果，就发明了小数来补充整数。

据上所述，我们可以借助百格图来揭示小数的产生过程。（图7）

图6

图7

利用百格图的意图是在数的整体结构中认识小数。从1出发，向左十进制计数依次是1、10、100等，然后依据小数的产生，将1依次等分得到0.1、0.01、0.001……从图形中理解数的变化，引导学生从中寻找不同与相同，在变化中看到不变，帮助学生理解小数与整数的关系，在迁移中理解。

6.利用数轴“点睛”真假分数的异同

分类是认识事物中十分重要的方法。通过比较真假分数，学生可以在掌握异同的基础上进一步认识分数。在分类比较中，我们要注意：分数单位是认识真分数、假分数的重要点；其次，真分数与假分数都是分数整体中的一部分，将它们放在整体中进行比较更易突显相同与不同。所以教学中可以紧扣用分数表示数轴上的点来比较概括，显得“水到渠成”。

我们通过两个层次的练习来比较异同：

（1）在下面的数轴上标出分数。（图8）通过标出分数认识到分数是一个“大家庭”。这里有二个目的：一是在数轴上找分数的过程中，亲身经历把数轴从一个单位延伸到两个单位、三个单位等；二是随着数轴的延长，丰富分数的范围，为分数的分类做好铺垫。

图8

图9

（2）从段到点（图9），将上述分数放到数轴上，学生通过观察可以直观地看到这一组分数的异同：分母相同，分子不同。于是学生想到了比较分子和分母的关系，并按照这个标准进行分类。通过进一步观察，可以发现以为界，分子比分母小的分数集中在0～1之间的这一段上，而分子比分母大的分数则分布在从1开始向右的部分。通过讨论得出分类标准，从而认识到真分数小于1，假分数大于或等于1。

综上所述，可以看到这些数学模型能帮助学生通过感知、操作等体验发现数、创造数，进而认识数。

[1]刘加霞.自然数概念的形成与发展及其对教学的启示[J].小学教学:数学版，2007.

[2]肖蕾.小学数学“整数的认识”内容分析与教学研究[J].东北师范大学，2013.

[3]滕艳辉.以“无名”命“微数”——论中国十进制小数的起源与发展[J].辽宁师范大学学报(自然科学版)，2010.

[4]陈英和.儿童数量表征与数概念的发展特点及机制[J].心理发展与教育，2015.

[5]陈曦.三个课例看计数器对核心概念建构的价值[J].学周刊，2016.♪