从数学运算素养的内涵，谈运算能力的培养

☉湖 北 省 黄 石 市 第 七 中 学 朱 潇

☉贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学 李鸿昌

一、问题提出

在执教过程中，很多一线教师都有这样的感受：学生的运算能力欠佳，经常出现“一听就懂，一做就错”的现象.为什么会产生这种现象？到底何为运算能力？如何培养运算能力？仅仅只是耳提面命的说“同学们，你们要多算啊，运算能力很重要！”这种“正确的废话”就够了吗？从“数学育人”的目标来看，肯定不是这样.

数学运算作为核心素养之一，是指学生在学生明晰运算对象的基础上，根据运算法则解决数学问题的一种素养.它主要包括理解运算对象、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等能力.［1］本文以上述内涵为着手点，结合具体实例，谈谈提高学生运算能力的一些想法.

二、实例分析

1.理解运算对象，探究运算方向

例1 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若A—→P=λA—→B+μA—→D，求λ+μ的最大值.

思路：如图1，建立直角坐标系，设A（0，1），B（0，0），C（2，0）.

图1

分析：本题系2017年全国卷3的压轴选择题，很多学生不知道如何下手，原因就在于没有理解运算对象——向量，而理解运算对象是解题的第一步.向量沟通了代数、几何和三角，是解决高中很多数学问题的有效工具.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点表示复数，将平面上的点用向量表示出来，坐标法的思想应运而生，坐标法是解决向量问题的得力方法.由于缺少对向量的正确认识和理解，学生很难将思维迁移到建立坐标系上，而一旦知道建系后，学生就恍然大悟了.当然，此题除了建系解决外，还有其他很多方法，就不再赘述了.

点评：学生为什么会想不到坐标法？本质就在于运算对象理解不透.教师在教学中首先应该不遗余力地让学生理解一个个的运算对象，理解其本质以及常用处理方法.比如，通常怎么解决垂直问题，怎么解决直线与圆相交问题等等，而不是只追求运算方法和技巧.只有理解了运算对象，才知道怎么处理对象，运算才有方向感.

2.选择运算方法，设计运算程序

思路：（法1）设直线l方程为y=k（x+1），联立方程，将=2转化为x1，x2关系，利用韦达定理构建等式求解.

运算程序对比：

?

分析：学生在不断练习解析几何问题后，头脑中已经形成了一个模式：“联立、化简、判别式、韦达定理”，但往往还是算不完整.由于解析几何运算量大，理解了运算对象，知道运算方向，但如果运算方法没有选好，很容易导致计算错误.对比方法1和方法2，方法1的运算量过大，过程比方法2烦琐，本质在于所设的直线方程形式不同.那么学生怎么掌握运算方法的优化和选择呢？这就是教师应该引导的地方.

点评：很多教师在解题教学中，只是感动了自己.学生只感受到教师方法的“妙”，但并没有掌握方法的本质.什么时候设点斜式方程容易，什么时候用方法2的形式简便，这些都是在解题教学中应该总结和突破的.如果解题教学只停留在解题，那就失去了解题教学的意义了.只有注重运算方法的优化和选择，才能使学生思维的灵活性和深刻性得到训练.

3.求得运算结果，反思运算道理

（1）求椭圆E的方程；

图2

分析：本题系2017年山东高考理科压轴题，难度比较大.但是从题目本身来讲，解题思路应该很清晰，由于运算能力不够，很多学生算不下去.现以其中两个运算环节加以简要分析：

1从而很容易求出取值范围.这背后的算理就是换元法，换元法可以将烦琐式子的化简，给求值问题带来很大的裨益.

点评：解题教学不是仅仅展示解题的步骤和过程，而应该重点讲解步骤背后的算理，即为什么这么算？这么算的好处在哪？如果不这么算困难在哪？这也就是为什么当前很多学生能听懂但是不会做的原因之一，因为他们只是认同这种运算步骤可行性，但是并没有掌握算理，而算理在学生解题过程中是可以迁移应用的，这才是运算能力的核心.

三、结束语

1.多一些模块，少一些技巧

陈永明教授认为数学解题本质是建立解题模块和命题联结系统.这些模块也就是我们通常所说的解题“套路”，高考中很多题都是有程式化思维路径的.数学运算能力作为题目的重要考查指标，该能力一定程度上可以归结为学生头脑中模块的众寡.教师在教学中应该多帮助学生建立一个个解题模块，而不是呈现出一个个破解题目的精彩技巧，技巧不足道也.

2.多一些概括，少一些观赏

当前很多教师不是缺少一题多解的能力，而是缺少归纳的能力.提高数学运算能力，就应该竭力将运算经验显性化、算法化，从而形成类型，促进图式的建立.贾德的概括化理论认为：概括出的一般原理才能迁移.题目是做不完的，但是掌握了运算的方法，建立了解决某类问题的图式就可以以不变应万变.学生不是教师提供解法的观赏者，运算能力的培养要去观赏性，多一些体验.

3.多一些碰撞，少一些权威

当学生出现不会算时，你会怎么处理？很多教师是采取“呈现—讲解”模式，这种模式只停留在“是不是”的阶段，而运算能力的培养更多的应该是“为什么是”，即背后的算理.教师的解法不是权威，学生思维的碰撞才能产生火花.课堂中培养运算能力应该“百花齐放”，在不同的思维路径、运算方法的碰撞中去寻找运算的核心.

总之，我们不能总是从意识层面去强调运算能力的重要性，而应该把握运算能力的内涵，从内涵中寻找培养运算能力的出路.

1.洪燕君，周九诗，王尚志，鲍建生.《普通高中数学课程标准 （修订稿）》的意见征询——访谈张奠宙先生［J］.数学教育学报，2015.24（3）.

2.陈永明.《数学习题教学研究》［M］.上海教育出版社，2014，10.

3.金玉明.《借一道高考题谈核心素养中的数学运算》［J］.中学数学（上），2016（11）.