一道错解引发的“微”教研——多变量函数不等式问题的探讨

☉浙江省杭州第二中学 谢丽丽

教研活动是教师专业成长的有效途径，不仅是固定时间，固定场合，固定内容的，更应是随时的，活动的，多样的.常规的教研活动往往间隔时间较长，而备课组每天都在进行各式各样的“微”教研活动，解题活动则最为平常.笔者所在的备课组教研氛围浓郁，教师的疑问常常会引发我们共同的思考.笔者在此记录一次“微”教研的收获与笔者的后续思考，以供飨耳.

一、拨错反正

教师1提出练习卷中的一道题目的错解.

设二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）.

（1）若c=b，且f（x）在［0，2］上的最大值为c+2，求函数f（x）的解析式；

（2）若对任意的实数b，都存在实数x0∈［1，2］，使得不等式|f（x）|≥2x成立，求实数c的取值范围.

错解：由题意知，只需当x0∈［1，2］时，

maxmin2对任意的实数b都成立.

教师1：改为只需g（x）max-g（x）min≥4对任意的实数b都成立.

其他教师一致表示赞同.教师们的探讨并未因答案的更正而结束.

探讨1：为什么可以这样转化，依据何在？

教师2：变量处理常用策略，去绝对值符号，转化为恒成立最值问题，逐个消元.

|x2+bx+c|≥2x⇔x2+bx+c≥2x或x2+bx+c≤-2x⇔2-

2.当c∈（0，1）时，g（x）在［1，2］上单调递增，2+（1+c）≥4，所以c≤-6无解.

4.当c∈［4，+∞）时，g（x）在［1，2］上单调递增，1+c-

综上，c≤-6或c≥10.

教师3：考虑b的任意性，数形结合，找出特殊状态.将问题一般化，即为对任意的实数b，都存在实数x0∈［a，b］，使得不等式|g（x）|≥m成立，如图1，当g（x）max=-g（x）min=m，此时g（x）max-g（x）min=2m，存在实数x0∈［a，b］，使得不等式|g（x）|≥m成立.上下平移图像1可得如图2，g（x）max≠-g（x）min，此时g（x）max-g（x）min=2m，存在实数x0∈［a，b］，使得不等式|g（x）|≥m成立，则当g（x）max-g（x）min＞2m，命题也成立.所以，原命题等价于g（x）max-g（x）min≥4对任意的实数b都成立，代入计算即可.

图1

图2

探讨2：题目中变量的设置意图何在？

不受限的常数变量b的出现，在于体现其任意性，无论图像如何上下移动，结论恒成立.可以利用代数运算，求解b的范围，由b∈R，消b，也可以利用函数图像变化，感受b对命题的影响，从而从运动变化中寻求不变性质.

二、集思广益

探讨3：尝试寻找同类型题目，所给方法是否具有一般性？

（2016年4月浙江省普通高中学业水平测试数学试题第18题）

解题方向一：去绝对值，转化为恒成立问题，逐个消元.

⇔b≤g（x）max-m或b≥g（x）min+m

⇔g（x）max-m≥g（x）min+m⇔g（x）max-g（x）min≥2m.

因为a＞0，所以g（x）是减函数，所以g（1）-g（2）=2-a-（1-2a）≥2m，1+a≥2m.因为∀a＞0，所以m.

h（x）max-h（x）min≥2m，2-a-b-（1-2a-b）≥2m，1+a≥2m.

解题方向二：抽象出最值形式，利用不等式求解.

解题方向三：从几何角度入手，数形结合.

图3

图4

图5

三、推广延拓

探讨4：能否总结一般解法，并予以应用推广？

波利亚说：数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的反思.此类题函数式中含分式、绝对值等运算，综合了“恒成立”和“存在性”两大问题，此类题之根本是复合最值，切入点在于对绝对值的处理，有三个方向：①代数角度，分类讨论；②几何意义，数形结合；③绝对值不等式，构造结构.当然，还需深刻理解变量的意义，逐个消元.

笔者翻阅试题，发现不少同类题型，比如2015年浙江省学考题，亦是.教学中需要举一反三，触类旁通，引导学生理解数学本质，建构数学模型.

（1）当a=0，b=1时，写出函数（fx）的单调区间；

（3）若对任意实数a，b，总存在实数x0∈［0，4］使得不等式f（x0）≥m成立，求实数m的取值范围.（2015年1月浙江省普通高中学业水平测试数学试题第34题）

解法此略.

四、结语

1.“微”教研实现智慧共享

在教学过程中，教师应不断反思，改进工作方法，除集体备课之外，让教师交流在日常教学中遇到的各种问题和困惑，让大家在共同思考解决问题的过程中，取长补短，集思广益，还可能迸发出新的思维火花，从而提高数学教学的效益.如案例中，“微”教研活动并不是一步到位的，笔者后续又进行了系统的思考、整理、归纳，在这样的“微”教研中，每个教师都能获得自己的成长需要.

2.营造自由的合作教研氛围

在数学备课组合作教研过程中，形成宽松自由的交流氛围，才能使各个教师极大程度地解放和拓宽自己的思维广度，针对教学过程中出现的各种问题积极大胆地发表自己的建议和想法，畅所欲言，使教学经验得到充分的交流和共享.

3.维持合作教研与独立思考的平衡

以授课需要为基础的数学备课组合作教研，是在某个教师遭遇自己无法解决的问题时，大家一起合作交流讨论，使问题得以解决的.但是，这样却使得有些教师过分依赖备课组合作教研的方式来进行授课，缺乏自己在教学过程中的独立思考.所以，教师不能过分依赖集体备课的教研成果，而应保障自我独立思考能力的提升，维持合作教研与自己独立思考之间的平衡关系.

教学需要个性化的教学风格，但是教学也需要团队的力量.教学内容的深刻性和教学方法的有效性还需要团体研究在教研团队中，我们需要倾听互相的教育故事，感受教育带来的快乐，让数学教学变得更有价值，一起追寻数学教育的梦想.

1.谢丽丽.不因惑小而不思——关于N次独立事件的师生探讨［J］.数学教学，2014（10）.

2.毛玉峰.例谈“绝对值三角不等式”的研究与拓展［J］.中学数学（上），2017（4）.