旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家——从第15届IMO试题谈起

☉浙江省宁波市北仑中学 冯 涛

2017年7月17日，全世界最优秀的数学精英齐聚巴西里约，参加第58届国际数学奥林匹克竞赛，这项挑战人类智慧的赛事即将迎来一个甲子，笔者作为一位中学数学教师也在万里之外的中国将目光注视着这一年一度的盛会.国际数学奥林匹克竞赛也简称（IMO），每个参赛国家代表队选派6名优秀选手参与为期两天共计6道题目的解题比赛，而优质的赛题往往比比赛结果更为让热衷于数学的人们津津乐道.笔者在整理往届的IMO数学竞赛题的过程中注意到一些历久弥新的好题目，其中一道是上个世纪1973年第15届IMO第三题：考虑所有这样的实数a，b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实数根，试找出a2+b2的最小值.这个题目的条件与设问都非常简洁却意蕴丰厚，它先后被直接引用，或者改编为高考模拟试题，其他各级别的数学竞赛试题，甚至还被改编为数学教师业务评比的测试题.真可谓“旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家”.笔者将针对此题的解法、变式拓展，相关链接问题，以及其中包含的思想方法、教学价值做一个初步的梳理，供同行参考.

一、题目的解法

试题 （第15届IMO第三题）考虑所有这样的实数a，b使得方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实数根，试找出a2+b2的最小值.

解法2：（构造法）注意到x=0显然不是方程的根，原方程x4+ax3+bx2+ax+1=0两边同除以x2得，t∈（-∞，-2］∪［2，+∞），则原方程有解转化为t2+at+b-2=0在t∈（-∞，-2］∪［2，+∞）上有解，此方程又可以看作关于点（a，b）所满足的直线方程，而a2+b2可以看作直线上的点到原点的距离平方，于是a2+b2≥

解法3：（换元法）令a2+b2=r2，则a=|r|cosθ，b=|r|sinθ，与此同时，令t=x+，t∈（-∞，-2］∪［2，+∞），则原方程转化为t2+|r|cosθ·t+|r|sinθ-2=0.

解法5：（利用方程的根的分布及韦达定理的“双根法”）令t=x+，t∈（-∞，-2］∪［2，+∞），则原方程有解转化为t2+at+b-2=0在t∈（-∞，-2］∪［2，+∞）上有解，不妨设两个根为t1，t2，且不妨设t1≤-2或t1≥2，由韦达定理知t1+t2=-a，t1t2=b-2，所以a2+b2=（t1+t2）2+（t1t2+2）2=（t21+1）t22+

当a≥1时，为使a2+b2取最小值，取b=0，此时上述约束不等式均满足，a2+b2≥a2.

二、题目的变式及相关问题链接

从上面的解法中我们不难看到，一道优秀的竞赛题几乎涵盖了中学数学所有重要知识点，代数的外壳，几何的本质，它分别涉及了函数、方程、不等式、三角、解析几何乃至导数等.事实上，此题如果继续探究还有其他一些解法，包括一些非初等的解法，这里仅仅选择几种比较有代表意义的初等解法，其核心都是围绕已知条件和目标函数a2+b2的处理做文章.客观地说，在此题的某些技巧解法对于没有接受过数学竞赛训练的同学来说是不容易理解的，以至于当年的这个国际竞赛题如今仍然活跃在国内竞赛赛场和高考模拟试题当中，例如：如果将原题目的条件做一个弱化，目标函数不改变就得到了2017年浙江省绍兴市柯桥区第二学期质检第17题：

显然，变式1的条件部分灵感来自于解法1中的第一步变形，而其他都没有任何变化，巧合的是，若条件不变，改变目标则是2017年宁波市北仑区教师业务评比中的一道压轴题：

变式2：函数f（x）=x4+ax3+bx2+ax+1至少有一个零点，求a2-b的取值范围.

此题将原先平方和的对称结构破坏掉，变成一个貌似更难的题目，实际上令z=a2-b，则目标函数显然可以借助抛物线方程中“截距”的几何意义处理，于是参考解法1的线性规划思路，此题迎刃而解.有兴趣的读者还可以尝试用其他方法解答上述题目.

变式3：（2013年浙江省数学竞赛试题）设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在［3，4］上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.

显然这道题目索性去掉了四次方程（函数）的伪装，在立意上是更加直接地在向原题致敬，其解法也毫不例外可以借鉴原题的解法.这里不妨列举几种加以比较.

解法1：不妨设零点为t，t∈［3，4］使得at2+（2b+1）ta-2=0，进一步化成关于（a，b）的直线方程a（t2-1）+2bt+t-2=0，从而根据点到直线的距离公式可知a2+b2≥，因此只需求等式右边的最小值即可.令u=t-2，u∈［1，2］，则右边关于t的式子变成关于u的函数

易知当u=1，即t=3时，a2+b2取到最小值

解法2：将at2+（2b+1）t-a-2=0，化为a（t2-1）+2bt=2-t，根据柯西不等式得到［a（t2-1）+2bt］2=（2-t）2≤（a2+b2）·［（t2-1）2+（2t）2］，余下同解法一，不赘述.

解法3：设a2+b2=r2，（r＞0），a=rcosθ，b=rsinθ（θ∈R）.由题意可知，存在x∈［3，4］使r（x2-1）cosθ+2rxsinθ=2-x成立，于是sin（θ+φ）=2-x，|sin（θ+φ）|=

所以a2+b2的最小值为.这里后半部分也可以继续换元借助基本不等式处理.

变式3的解法几乎完全出自于IMO的那道竞赛题，如果说第一次遇到此类问题需要的是灵感与技巧，那么再次遇到此类问题时，就有一定模式与解题经验可以遵循了.尤其是近些年，类似问题在高考或竞赛题中层出不穷.笔者精选了一些题目供同行参考：

（1）（2008年浙江省数学竞赛第10题）实系数一元二次方程x2+ax+2b-2=0有两个实根，其中一个根在（0，1）内，另一个在（1，2）内，则的取值范围是_______.答案

（2）（2014年浙江省数学竞赛）已知b，c∈R，二次函数f（x）=x2+bx+c在（0，1）上与x轴有两个不同零点，求c2+（1+b）c的范围.答案提示：设函数两点式再结合基本不等式.

（3）（2017年福建省数学竞赛）关于x的方程x2+ax+b-3=0（a，b∈R）在［1，2］上有实根，则a2+（b-4）2的最小值为________.答案：2.提示：柯西不等式.

（4）（2017年浙江省数学竞赛）方程x2+ax+b=0在区间［0，1］上有两根，则a2-2b的范围是________.答案：［0，2］.提示：线性规划.

（5）（2015年宁波市九校联考模拟题）已知二次方程ax2+bx+c=0（a＞0，b∈R）在区间（0，2）内有两个实根，若示：同第（2）题.

（6）（2015年浙江省数学竞赛模拟题）（fx）=ax2+4x+b（a＜0），（fx）=0的两根为x1，x2，（fx）=x的两根为α，β，若α＜1＜β＜2，求证：（1+x1）（1+x2）＜7.提示：同第（4）题.

（7）（2015年浙江省文科20）设函数（fx）=x2+ax+b，在［-1，1］上存在零点，0≤b-2a≤1，求b的取值范围.答案：［-3，9-4］.提示：同第（4）题.

（8）（2016年浙江省高考模拟题）已知函数（fx）=x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）上有两个零点，则3a+b的范围是_______.答案：（-5，0）.提示：同第（4）题.

（9）（2016年湖州二模）已知关于x的方程x2+2bx+c=0（b，c∈R）在［-1，1］上有实根，且0≤4b+c≤3，则b的取值范围是______.答案：［0，2］.提示：同第（4）题.

（10）函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈N*）在有两个零点，求a+b+c的最小值.答案：42.

三、问题本质的解读

纵观上述例题的解法与列举的练习，我们不难发现它们都有一个共同的本质特征，条件都是在（或可化为）已知二次函数零点分布（或二次方程根的分布）的前提下，求解一元或多元最值与范围问题，我们可以称这类问题为条件最值问题，这类问题在高等数学里面已经有成熟的解法，例如拉格朗日乘数法，而在中学数学范畴，这类问题的求解需要丰富的解题经验为基础作出灵活的判断与选择，这类问题在近几年高考与竞赛当中频频出现，特别是笔者所在的浙江省数学卷中.从命题者的角度看，命题者之所以偏好这类问题，一方面是浙江省考题一直以来延续的风格都是“简约不简单”，另一方面原因在于这类问题往往涉及多个数学知识点的交叉，对考生的多方面的素养（例如数学建模，数学运算，直观想象，逻辑推理，数据处理等）做到了全方位的考查，这类题目往往出现在压轴的位置，能够起到“把关”的作用；从考生的角度来看，首先，是他们的心理层面上面对多字母有关的数学问题一直都是心有余悸；其次，相当一部分同学自觉应用分类讨论、数形结合、函数方程和化归与转化等数学思想指导自己解题的意识尚显不足；最后，同学们还容易受到解题者非智力因素引发的各种失误的困扰.

四、问题解法的反思

从原题求解的目标来看，a2+b2具有以下几个思维取向：首先，它具有明显的几何意义——距离的平方，这就启发解题者从几何的角度处理此题，于是产生了线性规划的解法1（实际上是非线性规划），上述精选题目中的大部分题目如（1）、（3）、（4）、（7）、（8）、（9）、（10）都有明显的几何意义（斜率、截距、距离（平方）），利用线性规划法处理，因此这可以视作解决此类问题一个“通法”，这对大多数普通的同学来说是可以学习掌握的；其次，a2+b2也容易联想到圆的标准方程结构，于是可以作三角换元处理，这个方法也是处理多元条件最值的主要思路之一，因而原题解法3对于大多数同学来说也是应该掌握的方法；再次，我们更应该想到处理多元问题的首要想法是减元策略，刚刚提到的换元法本身也是将两个字母变成一个字母的方法，原题的解法2，解法6都含有减元处理的策略，解法5利用方程的根与系数的关系将其中一个根看做主元处理，这也一样渗透了减元的意思，只是对代数式的变形能力要求较高；最后，从竞赛的角度看，a2+b2容易让人联想到柯西不等式（或基本不等式）等典型的竞赛知识和方法，于是产生了更加快捷的解法也就不足为奇，这对于有过竞赛训练的同学来说是应有之义.

五、课堂教学的启示

著名数学教育家G·波利亚说过：“中学数学教学的核心任务是解题”，他又说：“解题是中学数学中最有用的精华.”作为从事一线教学的中学数学教师如何讲好题目呢？笔者认为教师需要做好以下几个方面的工作，首先，教师应该精选优质题目，题目不在多在于精，好的题目像一个宝库，它能够引领学生在思维的海洋里徜徉，教师应该有鉴赏好题目的能力，这需要教师也是一个爱好解题的实践者，经常解题，积累好的题目，并做好分类整理工作，正所谓贤者使人昭昭，教师对题目的理解和解题水平的高低很多时候影响着学生的解题能力提高；其次，教师的解题教学应该重过程轻结果，要善于将数学的冰冷的美丽还原为火热的思考，善于循循善诱、深入浅出地引领学生分析题目，比如，在讲解这道竞赛题目的时候，可以先降低思维起点，结合学生水平实际，从简单的二次函数根的分布题目入手，目标函数可以从单变量过渡到多变量，从线性目标函数过渡到非线性目标函数，条件中的参数可以从一个过渡到多个，而且这些过程可以放手让学生自主参与，生生交流，师生交流，增加思维碰撞的密度、深度和广度，这样的课堂多起来，学生的解题能力思维水平就逐步得到了提高，从一题多解到多题一解，思维先发散再收敛，也就实现了华罗庚先生说的将书先读厚，再读薄的过程，也就可以让师生从题海中解脱出来.再次，教师的解题教学不仅要让学生登堂入室，解决具体问题，更应该引导学生从解题的过程中提炼出有用的思想方法，上升为理论或者至少是比较可靠的思维经验，将解题中有意无意的思维火花凝结为今后解题的思维直觉，从而达到培养学生良好的思维习惯和创新思维能力的目的.

1.G.波利亚，著.阎育苏，译.怎样解题［M］.北京：科学出版社，1982.

2.何敏.多层次，宽视野，思讲评——试卷讲评的一些思考［J］.中学数学（上），2017（10）.F