关于直观想象素养的PME理论及应用

☉浙江省桐乡市凤鸣高级中学 沈金兴

新的高中数学课程标准修订组提出了六大核心素养，这已在中学数学界广为人知.而作为一线教师，该如何在课堂上落实这些核心素养呢？这就需要全方位审视和解读这些素养.本文试图对于“直观想象”这个核心素养，通过PME（数学教育心理学）的视角去寻找相关的理论依据，并在教材解读和数学教学上应用其理论.

一、直观想象涵义

直观想象的提法并非空穴来风，许多数学家与哲学家就对直观推崇备至.比如，哲学家康德认为“缺乏直观的概念是盲目的”；英国数学家格里菲斯在讨论数学的直觉和领悟时就指出：“数学中最常用的思维媒介是数学结构的模型和实例，对于初学者来说，几何图形比代数符号更容易掌握和接受.”因此不妨先看看世界上一些国家对直观想象的描述.

1.国外对直观想象的认识

在日本的广辞苑中，对直观想象是这样解释的：“一般地，不含有判断、推理的思维作用，直接把握、感知和想象对象”；而在日本的哲学词典中对直观想象的解释是“直接地把握对象的全貌和本质的认识作用”.

2000年美国NCTM在《数学教育的原则和标准》中指出：“用直观想象、空间推理和几何模型解决问题，几何观念在表征和解答其他数学领域中的问题和现实世界的问题时是非常有用的，因此应尽可能地把几何和其他数学内容结合起来.”

英国全国统一数学课程标准（1999年修订）中对直观想象的能力要求较为详细，并把它描述在各个学段里.例如，在中学的第二学段就这样要求：“能想象和描述二维和三维图形，以及它们的表现形式，精确应用几何语言，能辨认相同图形；能精确地作出二维和三维几何图形或模型，能熟练分辨多边形的对称性”等.

显然，国外对直观想象的认识是以几何直观为基础的，尽量利用几何图形（或模型）来感知和表征数学问题.

2.我国新修课标对直观想象的定义

高中数学课程标准修订组给出的直观想象核心素养的定义：直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题.主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.同时指出了该素养的学科价值是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思路的重要手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础，是培养创新思维的基本要素.

修订中的课标认为，在高中阶段，直观想象主要表现于：利用图形描述数学问题；利用图形理解数学问题；利用图形探索、解决数学问题；构建理论体系的直观模型.

由此可见，我国对直观想象核心素养的认识与国外基本一致，都认为要以直观明了的几何图形来帮助学生理解感知数学问题，使复杂、抽象的数学知识变得简明形象，有利于探索解决问题的思路和预测结果.既然如此，PME中关于直观想象的相关理论就可应用到该素养的落地实践上.

二、PME关于直观想象的理论研究及应用

1.国内学者的关键期理论

国内学者林崇德、沃建中等人对小学生的图形推理策略的发展特点进行了研究，发现小学生（从一年级到六年级）在图形推理问题的解决上其直观想象的能力是不同的.一般规律是随年龄的增长其能力呈上升趋势，且有几个很关键的时期.［1］例如，二年级小学生已开始能够同时想象两种图形，其直观想象的能力发展迅速；而到了五、六年级，更能够不受题目形式的影响，从本质上进行把握.所以在小学阶段，二年级、五年级与六年级是图形直观想象发展的关键期.

同样，国内学者孙敦甲［2］等人对中学生在几何图形想象能力方面也做了实证研究.从初一到高二共五个年级，研究了学生对平面和立体的基本几何图形的初步想象能力与深入想象能力的表现，得出了中学生的几何直观想象发展是从基本几何图形的初步想象发展到平面几何图形的深入想象，再发展到立体基本几何图形的深入想象这样一个逐步上升的规律特点.在这个上升过程中也存在着明显的关键期，比如从初二开始，学生的几何图形想象能力有明显提高；到了初三，有61.6%的学生具有了基本几何图形的初步想象能力；到了高一有53.1%的学生具有了平面基本几何图形的深入想象能力；到了高二则有50.2%的学生已具有立体基本几何图形的深入想象能力，然后开始呈定型趋势到成熟期.所以在中学阶段，初二、初三与高一是几何直观想象能力发展的关键期.

关键期理论的应用：事实上，小学与中学的数学教材在安排数学知识的顺序时就是应用了这个关键期理论.以中学为例，初中就是从初二开始学习平面几何的逻辑证明，从易到难、从简单图形到复杂图形，一直学到初三的圆知识，因为初二、初三是平面几何学习的关键期.而高中数学教材，立体几何内容是安排在《必修2》上，也正是高一阶段学生所学，涉及空间向量的应用安排在《选修2-1》上，是高二学生所学，这都完全适合空间几何直观想象能力发展的阶段性要求，因为高一是立体几何学习的关键期，高二是成熟期.

正因为中小学数学教材的编者已经按照直观想象能力发展的年龄特点和规律来编排数学内容，故一线教师在实际授课时就要根据教材内容进行教学，不要随意调换教学内容顺序，以便错过学生学习的关键期.

2.数学理解的发展模型

英国的S.Pirie和加拿大的T.Kieren［3］提出的数学理解发展模型以认知的观点强调知识理解是一个进行中的、动态的、分水平的、非线性的发展，是反反复复的建构组织过程.两位学者把学生对一个数学知识的理解划分了8个水平，分别为：初步了解，产生表象，形成表象，关注性质，形式化，观察评述，组织结构，发明创造，这8个水平可用嵌套的8个圆来表示（如图1）.

图1 数学理解发展的8个水平模型

这8个水平的理解用一组嵌套的圆来表示是为了强调其相互关系，每一个圆包含了前面的小圆，又包含在后面的大圆中，可以逐步拓广.虽然8个圆代表了8种水平，但这些水平主要是表示内层和外层的差别，并不是强调水平的高低之分，而是表明理解是一个动态的、组织的过程，因为在任一个水平上的理解活动包含了以前水平的所有理解，为发展的连续性提供内层基础.

数学理解发展模型的应用：以中学的函数教学为例，学生对函数的理解其实就是遵循这个模型的.学生从初二开始学习“变量说”的函数概念，接着了解到了一次函数、二次函数与反比例函数，这是“产生表象”水平的理解，由此形成了某个函数的表象，然后又注意到了函数的性质，若能结合函数图像解题，则达到了“关注性质”的水平.但是到了高中，又学习了更抽象的“对应说”的函数概念，在面对“分段函数”这类问题时，学生应用初中的方法分析失效了，因为这类函数的图像完全有别于初中.此时教师要提醒学生，根据高中“对应关系”的函数概念来分析初中所学的函数.于是学生会重新回到“产生表象”的一次函数、二次函数等的图像上，以形成新的表象：从自变量的不同取值范围去对应画图像.学生学会了画分段函数图像后就会总结出一个画图像“程序”，这一次达到了“形式化”水平.在接下去的函数单调性、奇偶性学习中，学生又会折回产生表象和形成表象水平，借助初中所学的函数图像去进一步弄懂形式化水平所需要的概念（如单调性与奇偶性的定义）.当学生这样不断地往复后，对高中函数的理解就发展得更丰富到位了，而一旦发展到“形式化”后，就可以应用高中现有的表象进行新函数的研究，而不必去重复或回忆初中的函数知识了，此时就达到了“观察评述”与“组织结构”的水平了.

在上述理解函数的过程中，当学生的外层理解建立不起来时，就需要一次次地折返回去，将还薄弱的相应内容水平的认识再建构，以满足外层水平的要求.这样来回反复，波浪式地前进，保证了理解发展获得内层水平的坚实基础.

根据学生理解数学的这个发展模型，一线教师在教学中要不断采用“先行组织者”策略.该策略是教育心理学家奥苏伯尔提出的，［4］是指在学习新材料之前呈现给学生的一种引导性学习材料，它以通俗的语言概括说明将要学习的新材料与认知结构中原有知识的联系，为新知识的学习提供认知框架.先行组织者可以是一个概念、一个定理或一段概括性的说明，当然也可以是形象化的直观模型.这个策略有助于学生发展直观想象的能力，以培养核心素养.

3.杜瓦尔的几何认知关系模型

英国的KeithJones认为，学生的几何推理能力的发展会对学生直观想象的能力发展起着至关重要的作用，而杜瓦尔（Duval）的几何认知关系模型便是相关的几何学习理论之一.

杜瓦尔认为，几何认知可分为直观、结构和推理三类，［4］这三类的几何认知关系如图2.

图2 几何认知关系模型

几何直观就是指几何性质用图形来表达，或者是复杂几何情境的启发式探究；结构就是指用工具来绘制、构造几何图形的过程；推理就是指知识的扩展和解释、证明的过程.杜瓦尔认为直观、结构和推理之间虽然有相互促进的关系，但他们之间也可以是相互独立的认识模式，直观想象并不一定完全依赖于构图能力和推理能力.

几何认知关系模型的应用：高中数学人教版《必修2》中，对立体几何内容就是采用“直观感知、操作确认、思辨认证与度量计算”的方法来认识和探索几何图形及性质的，而其理论依据显然与杜瓦尔的几何认知关系模型是一致的.也就是让学生先对三维空间的立体图形的整体观察入手，产生一个直观感知，再认识和理解空间点、线、面的位置关系和结构，最后再进行推理论证.当然在这个过程中，也可以相互独立.故《必修2》第一章的内容是“空间几何体”，这样的编排也是可行的，而且这也符合人类认识事物的普通规律.所以一线教师不必有顾虑，按照教材上的顺序授课是没问题的，等学生学完公理、定理，掌握推理论证后再回头看空间几何体，此时学生对度量计算会理解得更深刻，他们对空间几何图形的认知就产生了螺旋形上升，有了质的提高.

4.范希尔的几何思维发展模型

荷兰学者范希尔（vanHiele）将几何思维的发展划分为5个水平，［4］概括成了一个比较完整的体系，具体特征和相应的层次水平见表1.

表1 范希尔几何思维发展水平及含义

上述表中这些由低到高的水平层次是分先后顺序的，学生在某一水平上要达到理解和掌握，其前提必须具备前一水平上的大部分能力；反之，学生在某一水平上理解不深，到了高一层次水平反过来俯视前一个层次内容时，就可能理解清楚了.这些不同水平间的发展，不是靠年龄的增长和身体的成熟，主要是靠教学来推动.学生可通过若干教学阶段取得进步，但不能绕过某一水平向高层次发展.范希尔的几何思维发展模型，被认为在学生的直观感知能力和几何推理能力的培养方面提供了理论支撑.

几何思维发展模型的应用：范希尔的这套模型可适用于任何知识的学习，因为学习本身就是一个由下而上、由低到高、由浅入深的循序渐进的过程，整个过程是发展的阶段和连续的发展相互统一，所以这5个思维水平内部是互相联系与互相依赖的.比如，学生目前还只能思考水平Ⅰ的问题，若一定要他接受水平Ⅱ的知识内容，就超过了他的承受能力，就很难有进展.因此作为一线教师，一定要了解学生已有的认知水平，然后再逐渐提升.

例如，在高中数学教材人教版《必修5》的第二章《数列》的2.1节，教材上介绍了毕达哥拉斯学派的“形数理论”：“三角形数”与“正方形数”（如图3、图4）.

图3 三角形数

图4 正方形数

这是学生第一次遇到，先让他们有一个直观认识，达到水平Ⅰ；接着在讲到2.3节《等差数列的前n项和》时，可让学生进一步想象，以提升对“形数理论”的认识：从“三角形数”推导出一次幂和的公式“1+2+3+…+n=，从“正方形数”推出前n个连续正奇数和的公式“1+3+5+…+（2n-1）=n2”（如图5、图6），从而使学生达到水平Ⅱ与水平Ⅲ.

图5 两个三角形数的组合推出一次幂和的公式

图6 正方形数推出前n个连续正奇数和的公式

当然教师还可继续提升学生进一步应用“形数理论”的水平.当讲到2.5节《等比数列的前n项和》时，例3涉及二次幂和的公式“，教材上没有证明，但借助“三角形数”的形式可进行推导，如图7，具体推导过程可见文5.此时学生对“形数理论”的认知就可达到水平Ⅳ.

这样一个循序渐进的教学过程，就体现了学生从最初的直观感知水平慢慢上升到抽象的形式演绎水平，完全符合范希尔的思维发展理论.事实上，学生的学习都可按此模型来解释，所以教师对学习材料和每一阶段的教学安排都可遵循此理论.

图7 三角形数拓展后推出二次幂和的公式

三、结语

专家们提出的核心素养问题，在中学界也已讨论得沸沸扬扬.［6］从PME的视角去解读“直观想象”核心素养，也是为了找到相关已成熟的理论，以便在这些核心素养落地时能应用.当然，关于直观想象的相关PME理论作为教师实践的理论依据也是见仁见智.本文权当抛砖引玉，共同在教学实践中进行讨论商榷.

1.林崇德，沃建中，陈浩莺，等.小学生图形推理策略发展特点的研究［J］.心理科学，2003（1）.

2.孙敦甲，等.中学生数学能力发展的研究［J］.心理发展与研究，1992（4）.

3.李士锜，编著.PME：数学教育心理［M］.上海：华东师范大学出版社，2005.

4.沈金兴，王奋平.从PME视角看直观想象素养及其培养［J］.教育研究与评论，2017（4）.

5.沈金兴.毕氏学派的“形数理论”及应用［J］.数学通讯，2013（10）.

6.杨广娟.“数学抽象”核心素养的养成途径［J］.中学数学（上），2017（4）.F