两机反向旋转的振动同步系统在远共振和亚共振状态下的运动选择特性

李凌轩, 陈晓哲,2

(1. 东北大学 秦皇岛分校 控制工程学院，河北 秦皇岛 066004；2. 东北大学 机械工程与自动化学院，沈阳 110819)

Huygnens于1665年最早发现时钟的自同步现象，从19世纪90年代起，Moler，Appletont，VanderPol等科学家陆续在非线性电路中发现了同步现象[1]。上世纪60年代， Blekhman[2]，利用Poincare-Laypunov小参数法提出了双激振器自同步振动机的同步理论，开启了振动同步理论在机械设备中的理论研究和实际应用研究。80年代Inoue等[3]研究了双电机驱动的平面自同步振动机的3倍频同步理论。同时期，Wen等采用Hamilton原理推导出了两激振器自同步振动机械的同步性条件和稳定性条件开启了国内的研究步伐，其核心是采用积分平均的思想，将复杂的系统运动微分方程转化为两个偏心转子间相位差的微分方程。同时，他还提出在某些非线性系统中可以实现各次谐波的倍频同步，即2倍频、3倍频和n倍频同步。自此，目前比较广泛使用的三大类机械工程中的振动同步理论的研究方法形成。在Wen等的基础上，Zhao等[4-7]改进了平均小参数法，引入两组扰动小参数并结合Routh-Hurwitz判据提出双机驱动平面单质体和双机驱动空间单质体的同步性条件和稳定性条件，并对双机、三机、四机、单质体以及多质体振动同步系统进行了研究。Zhang等[8-11]依据该理论主要对双机及三机振动同步系统进行研究，其分析重点在于不同的结构对系统运行的稳态特性，如系统能量分配、相位稳定区间及同步能力与稳定性能力等。此外，侯勇俊等[12-13]对自同步平动椭圆振动同步、双轴二倍频振动同步等理论与试验方面进行了研究。

这些成果主要是研究远共振工况下的系统的振动同步稳态运动特性，对亚共振工况下的系统的稳态运动规律却鲜有研究者涉足。这主要归因于利用亚共振理论设计的振动设备的运动稳定性灵敏较高、结构较复杂、理论设计与计算难度较大，若修护不善易发生共振。然而，由于亚共振设备的具有明显的节能、降低激振力的同时却能获得较大振幅、降低工作弹簧刚度、减少对基础的冲击力等优点，目前随着反共振同步机械、亚共振机械的在工程中的运用，对于振动同步系统的各个工况下的稳态运动特性(尤其是在亚共振工况下)的理论研究迫在眉睫。

本文将以反向旋转的双激振器直线布置的振动系统为例，主要利用Hamilton原理对其在亚共振与远共振两种工况下的稳态相位差、能量耗散情况等稳态特性进行研究，并在理论研究的基础上设计了相应的实验系统来验证理论研究的正确性。这些研究成果可以为振动同步设备(尤其是亚共振振动同步机械)的设计提供理论依据和实验参考。

1 力学模型

对工程机械中双机反向旋转的同步系统的机械结构部分进行简化，得到如图1所示力学模型。它由两个反向旋转的三相异步振动电动机组成激振器分别驱动，其中，o为机体中心，o1和o2分别为两个激振电机的旋转中心，oxy为固定坐标系。选择q=[x,y,ψ,φ1,φ2]T为广义坐标，求出建立拉格朗日方程所需的系统的动能T、势能V和能量逸散函数D0后便可得到该系统的运动微分方程式，见式(1)。

图1 两机反向旋转的振动同步系统的力学模型Fig. 1 Mechanical model of synchronization system driven by exciters in opposite directions

(1)

2 系统的频率俘获条件及稳定性分析

2.1 系统的频率俘获条件

当振动系统实现频率俘获从而达到两个激振电机的同步运转的稳定状态时，系统的稳态运动必然具有周期性特征，这意味着它们的角速度是周期性变化的。假设系统稳态运行时两激振器的周期分别为T1和T2，则两个电机在最小公倍周期T0期间内转速的平均值ωm0必然是常数

(2)

并忽略阻尼比对振动系统振幅的作用，按线性系统叠加原理得到系统在方向的稳态响应，见式(3)。

(3)

2.2 系统的振动同步条件

(4)

在一个振动周期内，Hamilton作用量可表示为

(5)

由Hamilton原理，即系统Hamilton作用量的变分与作用在系统上的非有势力所作的虚功在一个周期内积分和的值为零，即

(6)

式中：Fi为广义力；qi为广义坐标。取φi为广义坐标，将式(6)代入式(5)可得

(7)

式中：ΔTe=Te1-Te2；Δfd=(fd1-fd2)；H=E/2；D即为同步性能指数，由于|sin 2α|≤1，振动系统实现自同步的条件为振动系统的俘获力矩H大于或等于两电机剩余电磁转矩差的绝对值ΔTe-Δfdωm0，即|H|>|ΔTe-Δfdωm0|，即同步能力系数|D|≥1。当数D越大时，系统将处于越稳定的振动同步状态，此时式(7)中两机相位差值将趋近于0°或180°。

2.3 振动系统同步运转的稳定性条件

现对根据同步条件所确定的两种同步状态的稳定性进行分析。当Hamilton作用量I对2α的二次导数大于零时，可得到该振动系统同步运转的稳定性条件为

(8)

将式(5)代入(8)，则得到振动系统同步运动的稳定性条件为

Wcos 2α<0

(9)

对于该稳定性条件，若W=0时，振动系统的参数不满足同步条件，不能实现同步运动。W值的正负取值情况决定了式(9)中稳定性条件中2α的取值范围。

一般情况下，该类振动系统弹簧刚度kx≈ky≈kψ，固有频率ωx≈ωy≈ωψ，对式(5)中振动同步的稳定性指数W可进一步化简为

(10)

3 实验系统及测量结果

该实验平台(见图2)主要由振动同步实验台、信号采集系统、功率分析系统3部分组成。系统的力学结构相关参数见表1所示。

表1 振动系统的力学参数

图2 试验设备Fig.2 Experiment equipment

实验台的弹性元件选择的是4个瑞士ROSTA公司生产的AB型弹性振动支撑。信号采集是通过LMS SCADAS Mobile系列数据采集系统来实现，在实验平台的左中右3个位置安装了3个三向加速度传感器，偏心激振器正面安装脉冲计数传感器测试转速和计算相位差值。系统所消耗的总功率(不包含数据采集仪所消耗的功率)采用HIOKI PW3335型功率分析仪来实现，将其布置在了变频器的前端。

由表1知本实验中振动体当量回转半径lψ≈0.55 m，略小于系统质心距支撑中心的距离l0。由式(10)知，稳定性指数与两激振电机之间的距离无关，因此实验中布置了4台电机(中间两台电机为一组，外侧两台电机为一组)进行对比实验。此外，为了验证系统在亚共振和远共振情况下能否实现振动同步及其能耗变化情况，在t=20 s时关闭电机1。限于篇幅，图3～图7中主要列举了远共振和亚共振情况下的实验结果。其中，图4和图6是利用尼康D7100型相机在运动模式下随机拍摄的振动同步状态下的实际相位图。图7为系统总功率消耗随时间变化的曲线。

图3 亚共振情况下实验结果Fig.3 Experimental results in sub-resonant state

图4 亚共振工况下两激振电机的相位图Fig.4 Phase differences of exciters in sub-resonant state

图5 远共振情况下实验结果Fig.5 Experimental results in super-resonant state

图6 远共振工况下两激振电机的相位图Fig.6 Phase differences of exciters in super-resonant state

图7 系统的总功率曲线Fig.7 Total power of the system

图3(a)和图5(a)分别显示了系统处于亚共振和远共振时的角速度上升情况，系统在开机后迅速达到了同步振动状态，相位差值的角速度快速稳定。此时系统的在亚共振时相位差稳定在180°附近，见图3(b)中稳态时的偏心块的相位差曲线和脉冲信号曲线；当系统处于远共振状态时，断电前系统相位差将稳定在0°附近，断电后稳定在25°附近，见图5(b)。采用相机所拍摄的两激振电机的相位图也可以看到：在图4中，激振器1和激振器2相位差值φ1-φ2处于181.1°～195.1°。其中，图4(a)和图4(b)为亚共振时中间两电机的稳态运行时随机拍摄的相位图，图4(c)为外侧两电机的相位图。图6显示远共振时，远共振时相差稳定在0°附近，断电前-2.2°，见图6(c)，断电后26.8°，见图6(a)和图6(b)。同时，图4和图6显示内侧两组电机与外侧两组电机在亚共振和远共振时均分别能够达到稳定运转状态，这间接地说明了振动同步传动的运动选择特性和稳定性指数的确与两激振间布置的距离无关。事实上，正如相关文献所述，激振器回转轴心至机体质心之距越大系统越容易获得实现振动同步传动频率俘获力矩。

从图5(a)和图5(b)中还可以看出在第20 s断电后，激振电机的同步转速随着相位差的增加而有所下降(从849.8 r/min降低到846.2 r/min)，两激振电机在频率俘获力矩H的调整作用下经过5 s左右达到了新的平衡。此时，力矩H将激振器1的驱动力矩通过机体传递给了断电的激振器2以克服其的负载力矩，这就是文献[1]中所定义的振动同步传动状态。

对比图3和图5中的加速度曲线还可以看出，在系统未达到稳定运转前图3显示两个方向的加速度都是缓慢增加的，而不像图5所显示那样明显出现过加速度波动现象，这意味着图3所示的系统稳定运转时激振频率未超过系统发生共振的固有频率，系统处于亚共振状态。

从图7的能量消耗曲线来看，在亚共振和远共振工况下未采用同步传动方式时总功耗接近，约为248 W，但图7(b)还显示了在20 s系统断电后实现振动同步传动时，系统总功率下仅为162 W。这意味着振动同步传动能够明显降低系统功耗，以本实验样机为例，约35%，此工程意义较大。

事实上，采用数值仿真我们还发现：在亚共振状态下，若激振器内部阻尼较小，系统也能实现振动同步传动。而上述实验却没能实现的原因正是由于实验中所选的振动电机内部阻尼较大。若对亚共振的电机转速进行调节使系统实现控制同步，这将非常有利于亚共振理论的工程应用。

4 结 论

(1) 建立了一类双机反向旋转的振动同步系统的动力学模型，应用拉格朗日方法得到了振动系统的运动微分方程，并利用小参数法求出其稳态响应，然后基于Hamilton原理，推导了该系统的同步性条件和同步运转的稳定性条件，给出了系统的同步能力指数和振动同步的稳定性指数的计算公式。

(3) 通过实验对l0

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