带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题分析

摘 要：带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题是最近几年高考的常考点，同时也是学生分析的难点问题，有关于解决临界现象的问题就更是比较困难。这种临界问题就要求学生有较强的分析能力，缜密的逻辑思维能力，较全面的平面几何知识和复杂问题的分析、物理模型的构建能力，特别对于物理的学困生，更是比较困难。

关键词：带电粒子；匀强磁场；有界磁场；匀速圆周运动；临界问题；运动问题

带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题，对于学生而言本身就是难点问题。第一，有界匀强磁场就要确定好磁场的边界；第二，临界问题就是极值问题。因此本文就带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题从以下两种情况进行分类讨论。第一种：给定有界的匀强磁场，研究带电粒子运动的临界情况；第二种：由根据粒子的运动情况，判断磁场的边界。

一、 给定有界的匀强磁场，研究带电粒子运动的临界情况

1. 带正电粒子如果以相同的方向垂直入射匀强磁场，而入射的速度大小可以改变，那么这些粒子的运动轨迹有什么相似之处呢？我们知道，这些带电粒子以确定的速度方向，不同的速度大小入射时，粒子做匀速圆周运动的轨道半径不同，速度大的半径大，但是这些圆的圆心在同一条直线上，并且圆心的连线和速度方向垂直。这些圆逐个逐渐变大，因此也称之为膨胀圆。

【例1】 如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v0的带正电粒子，已知粒子质量为m、电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不计。求：

（1）粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。

（2）如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。

分析：由于带电粒子进入磁场的初速度方向都是一样的，大小不一样，因此圆心都在同一条直线上，根据入射速度大小关系，确定粒子运动的轨道半径。要保证粒子能够从ab边射出，临界情况是当圆与ab边相切。随着粒子速度的增加，半径变大，利用膨胀圆来确定粒子的边界。当圆轨道与cd边相切时打在ab板上的距离最远。当粒子速度再增加，粒子将从cd板射出，不会再打在ab板上，因此打在ab板上的范围为AB之间的区域。而对于带电粒子在磁场中运动时间的计算，我们则根据时间和角度的关系，找出回旋角即可。要求最长时间则要找到最大的回旋角，根据几何关系，正确画出临界状态下的轨迹。再利用相关的物理知识和数学知识便可处理。

2. 带电粒子，如果以相同的速度大小，从同一点射入无界的匀强磁场区域，那么这些粒子的运动轨迹有什么相似之处呢？我们根据这些粒子的特点，从不同的方向入射，而入射的速度的大小相同，可以判断出这些粒子的运动半径都为R=mv/qB，而且这些圆都是在入射点为圆心的圆上，这种方法也称为动态圆分析法。

【例2】 如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离L=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106m/s，已知α粒子的电荷与质量之比qm=5.0×17C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的區域的长度。

分析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力可求得粒子的半径，则根据几何关系可求得ab上被打中的区域的长度。由于这些带电粒子的速度大小都是确定的，所以带电粒子的运动轨迹都是同样大小的圆，因此可以应用动态圆的方法来解决这类问题。根据运动情况可以判断这些动态圆在以入射点为圆心，以动态圆的直径为半径旋转，分别与ab的交点和相切点则是粒子在ab区域上的两个边界。

3. 如果入射速度大小和方向都变化，那会是什么情况呢？速度方向的改变影响了圆心的确定，速度大小的变化影响了半径的大小，这种情况下粒子的运动情况就是不确定的，因此对于有这类问题的处理就一定要找准临界状态和条件。

【例3】 如图所示，两个同心圆为匀强磁场的内外边界，内半径为R1，外半径为R2，磁场方向垂直纸面向里，已知带正电粒子的电荷为q，质量为m，匀强磁场的磁感应强度为B，带正电的粒子以某一速度v从内边界上的A点射入磁场区域。若大量上述粒子从A点沿各个方向射入磁场区域，求所有粒子均不穿出磁场区域外边界时粒子的最大速度v0。

分析方法：对于这种情况的分析可知，这些带正电的粒子，以相同的速度大小入射，可以先找出每个速度方向所对应的临界圆，再对各个临界圆分析。由于这些粒子的入射点都在A点，而且速度大小、方向也在发生变化，因此粒子运动的轨迹及圆心都在改变。要想保证粒子均不穿出磁场区域外边界，临界情况则当粒子刚好与外圆相切，则此时所对应圆的半径最大，速度则是最大速度。

二、 由根据粒子的运动情况，判断磁场的边界

这种类型则是根据粒子在匀强磁场中的运动情况，特别对于临界问题的分析从而来确定磁场的边界。

【例4】 一带电质点，质量为m，电量为+q，重力忽略不计，以速度v与y轴成30°从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点与ox夹60°角方向射出，可在适当的地方加一垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径。

分析方法：首先找出匀速圆周运动的圆心，画出运动轨迹，注意磁场边界的特点。根据题目意思可以判断粒子在磁场中做匀速圆周运动，再根据粒子的运动特点可以知道粒子做圆周运动的半径和速度方向垂直，将两个速度方向都延长或者反向延长，做出垂线，便可确定粒子做圆周运动的一段轨迹，只要保证这段运动轨迹在有界磁场中即可。但又要保证磁场的面积最小，则需要以此段轨迹对应的弦为直径的圆面积是最小的，其余的圆的面积都比这个圆的面积大。

学生处理这类带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题，主要存在以下两方面的困难：一是做图能力差，画不出准确的轨迹图；二是对于题目的处理，难度提升较大。针对这种情况，通过反复的教学实践，我认为对于学生的这种问题主要从以下几个方面解决：充分来理解题目意思，根据题意来分析，建立相关的物理模型，有助于对题意的挖掘，特别对于物理的学困生，则更是比较困难。而对于这类问题的分析则要特别注意对动态圆和膨胀圆的分析和应用，这就要求学生具有较为深厚的物理基础知识和扎实的物理功底。因此在我们的教学中配以计算机加以辅助，使学生能够有更加直观的印象和认识，让学生从最简单的类型、最基本的模型入手，在此基础之上变形，更加有助于对知识的学习。

参考文献：

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[2]程红光.高中物理教学中的模型构建及其实践[D].华中师范大学，2012.

[3]朱有凯，司勇锋，肖瑞平，周向阳，张政，韦海明，黄波，兰桂萍.2006年高考理科综合能力测试模拟试题二[J].中国临床新医学，2012（11）：10-13.

作者简介：

孙科，福建省莆田市，莆田哲理中学。endprint