例谈高考中常见的椭圆题型

王文忠��

摘 要：解析几何在江苏数学高考中占21分左右，解答题常常以直线与椭圆的问题出现。直线与椭圆题型多样、综合性强、解题方法灵活、运算量大，能够较好地考查学生掌握基础知识的程度，也能够考查出学生对数学思想方法、运算能力，要求学生具备较扎实基础知识及较强综合能力。本文将重点分析下直线与椭圆中常见题型，使学生更好地掌握解析几何中常见的题型。

关键词：椭圆；高考；常见题型

圆锥曲线是高中解析几何的核心内容及研究对象，代数方法解决几何问题是解析几何最基本的思想，学生通过圆锥曲线的学习，培养数形结合思想及解决实际问题和运算的能力，养成良好的解题心态。圆锥曲线的考查在历年高考中常以椭圆为主，椭圆的考查常常涉及椭圆的标准方程和性质，而直线与椭圆的位置关系似乎是必考内容，因为直线与椭圆的关系能够考查学生的基础知识、解题技巧、运算能力，椭圆知识的考查大致上能分为以下几种情况。

一、 椭圆几何性质的应用

高中数学中椭圆的性质主要包括：范围、对称性、顶点、焦点、离心率、准线、共同性质等，考查椭圆基本性质就是各个知识点间联系，尤其是基本量a，b，c，e之间的关系，这类题一般属于容易题，主要是构造基本量之间的等量关系或不等关系。

例1 （2017·浙江卷）椭圆 x29+y24=1的离心率是（ ）

A. 133

B. 53

C. 23

D. 59

二、 求曲线方程或轨迹问题

求曲线方程或轨迹方程是解析几何中数学的重点和难点，求曲线方程通常先确定曲线的类型（定型）是圆、椭圆、双曲线还是抛物线，再确定曲线的位置（定位）——圆锥曲线的焦点在哪个轴上或抛物线的开口方向性，再确定基本量的取值（定量），最后写出曲线的方程。求轨迹方程则需要挖掘已知条件，将动点满足的规律（一般是等量关系）找出来，并将规律用动点的坐标表示成等式再化简整理即可。

椭圆解答题中出现频率最高的是求椭圆方程，而且常常放在大題第一小题，常常根据曲线具有性质来求解曲线方程，或者是根据已知条件找出平面内动点运动规律或满足的条件求轨迹方程。求轨迹方程主要还有以下几种题目类型：两曲线交点、弦中点、焦点弦、切线等为条件求轨迹方程。

例2 （2017·山东卷）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，焦距为2。

（1）求椭圆E的方程。

例3 （2015·广东卷）已知过原点的动直线l与圆C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程。

例4 （2017·新课标Ⅱ卷）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP=2NM，（1）求点P的轨迹方程。

三、 有关定值与定点问题

定值与定点问题主要是从椭圆的一些性质得出的，常涉及直线与椭圆、两直线、点与椭圆的位置等关系。根据社会对人才的需要，高考越来越重视考查考生的综合能力，而椭圆的定点、定值问题能有效地考查考生的综合能力，因为这类试题解法多样、注重整体的解题思路、需要良好的解决问题的心态等特点。结合近几年高考试题，定点或定值问题常以以下四种形式呈现：有关角或直线的斜率是定值、多个量的运算结果是定值、曲线过定点或点在曲线上、直线过某定点或点在某定直线上。

例5 （2017·新课标Ⅰ卷）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上。

（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点。

在历年各地的高考数学试卷中，椭圆题目分值一直保持稳定，题型多样，方法灵活，综合性强，一般作为把关题或压轴题。第一小题常常考查椭圆的基本性质或求方程，属于容易题，而第二小题则时常考查最值或定点定值问题，一般与函数、不等式、向量、三角函数等相结合，呈现出考查方法灵活多样，运算量大，灵活考查考生对基础知识的掌握程度，考生灵活运用数学思想和方法综合解决问题的能力，所以常为命题者所青睐，故而在平时的教学和训练中多多体会椭圆题中的数形结合，以代数方法来解决几何问题，通过解椭圆题来提升自身的运算能力和规范的解题习惯。

参考文献：

[1] 凌敏华.直线与圆锥曲线的常见题型及解题技巧.数学学习与研究，2016，6.

[2] 钱坤.新课改背景下椭圆高考试题的考查特点分析.赣南：赣南师范学院，2013，5.

[3] 陈发志，蔡小雄，张金良.2011年高考数学试题分类解析（十）——椭圆与方程[J].中国数学教育，2011.

[4] 陈淼.圆锥曲线最值问题常见题型与解题技巧.中学生数理化，2015，10.

作者简介：

王文忠，江苏省泰州市，泰州市第三高级中学。endprint