数列中一类存在性问题的通解探秘

鲁琛

关于数学解题训练的模式观，本人认为：多一点方法，少一点随意；多一点套路，少一点随性；多一点模式，少一点随缘。《刻意练习：如何从新手到大师》中言道：“你如果无差别重复一万小时，也不会变成高手，只有刻意训练，才能带来精进”。江苏高考数列压轴题，难度较大，表现形式多样，注重对数学思维，方法和能力的考查。数列与不定方程的整数解问题近来成为高考及模考命题的一个热点，这类问题对学生的思维能力和探究能力有较高的要求，带有很大的区分度，本文笔者结合几次模考例题分享笔者的实践与思考。

试题呈现

例1：（2018届盐城市高三期中第19题）已知数列{an}满足a1=-1，a2=1，且an=2+（-1）n2an（n∈N*）

（1） 求a5+a6的值；

（2） 设Sn是数列{an}的前n项和，求Sn；

（3） 设bn=a2n-1+a2n，是否存在正整数i，j，k（i

解：（1）（2）略

（3）由（1），得bn=a2n-1+a2n=（32）n-1-（12）n-1≥0（仅b1=0且{bn}递增）.

∵k>j，且k，j∈Z，k≥j+1.

①当k≥j+2，bk≥bj+2，若bi，bj，bk成等差数列，则：

bi=2bj-bk≤2bj-bj+2=2[（32）j-1-（12）j-1]- [（32）j+1-（12）j+1]

=-14×（32）j-1-74×（12）j-1<0

此与bn≥0矛盾，故此时不存在这样的等差数列.

当时k=j+1时，若bi，bj，bk成等差数列，则：

bi=2bj-bk=2bj-bj+1=2[（32）j-1-（12）j-1]-[（32）j-（12）j]

=12×（32）j-1-32×（12）j-1

又∵i

若i≤j-2，则bi≤bj-2，得12×（32）j-1-32×（12）j-1≤（32）j-3-（12）j-3

得（32）j-3+5×（12）j-3≤0，矛盾，∴i=j-1.

从而有2bj= bi-1+bj+1，得2×[（32）j-1-（12）j-1]=[（32）j-2-（12）j-2]+[（32）j-（12）j]

化简，得3j-2=1，解得j=2.

从而，满足条件i，j，k的只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3.

第三小问学生普遍反应难：方程中含有3个变量，具有很多不确定性，找不到切入点；化简过繁找不到突破口，无从下手，只能选择放弃；甚至我们老师在评讲也觉得难以下手，答案能看得懂却想不到。类似的问题在考试中也曾遇到，困扰学生，成为学生解题中的难点。

感悟反思（1）这类问题都有无数个不存在即2bj≠bi+bk，一般来说若数列{bi}单调递增，则2bj≤bk就有无数组，若数列{bi}单调递减，则2bj≤bi就有无数组；

（2）若利用两个不相等的正整数之间相差1不能解决，则可以将两个正整数的差合理扩大，直至成立，一般来说大于等于2就行，直至等式不成立，从而使得成立的可能性只有有限个，再一一找出；

（3）若两个正整数相差1就可以解决问题，列出等式，根据范围合理求解就行。

笔者认为这类问题很多，基本上大同小异，此方法学生可以通过刻意训练，习得自然。

问题再现

例2：已知数列{an}的各项均为正数，且对任意n∈N+有k2an+2≥an，m3an+3≥an，其中k，m为常数.

（1）若k=3，m=2，且数列{an}是公比为q的等比数列，求q的取值范围

（2）若k=m=p（p∈N+，p≥2）

①求证：数列{an}为等比数列；

②设bn=nan，求所有p的值，使得数列{bn}中存在不同的三项成等差数列.

解②：由①可得an=a1（1p）n-1，bn=nan=na1（1p）n-1，

∴bn+1-bn=（n+1）a1（1p）n-na1（1p）n-1=a1（1p）n-1（1-p）n+1p.

當p=2时，存在b2=a1，b3=34a1， b4=12a1成等差数列，

当p≥3时，（1-p）n+1<0， ∴{bn}单调递减.

不妨假设存在正整数r

则2bs=br+bt，∵r

∵{bn}单调递减，2bs-br≤2br+1-br，

∵2br+1-br=a1（1p）r-1（2-p）r+2p，当p≥4时，（2-p）r+2≤0，

∴2bs≤br，又∵bt>0，∴2bs≤br+bt，∴p≥4时不存在.

当p=3时，只有r=1时，2bs>br，由2bs=br+bt得

2s3s-1=1+t3t-1，∴2s3s-1>1，∴s=2，t=3，

综上：p=2或p=3.

在平时的教学中，较之数学基础知识，数学思想有更高的层次和地位。数学方法是数学思想的体现，具有模式化和操作性的特性，在数学课堂教学中采用这样一种“模式化”的教学方式，不仅体现了《课标》的要求，也是体现教师对试题的研读。尽量挖掘问题最本质、基本的方法，消除学生对数学问题的恐惧，增强学生的兴趣和自信。

【参考文献】

[1]孙小龙.看似崎岖最寻常 成如艰辛却容易——数列中一类不定方程通解探秘.中学教研（数学）.2015：40-43.

（作者单位：江苏省溧水高级中学）