数学三角函数相关问题的解答

黄文浩

数学三角函数相关问题的解答

黄文浩

高中阶段三角函数是需要重点掌握的内容，不论是高考中，或是日后的生活中都具有重要的作用。本文从三角函数的解析式与取值范围、最值探讨和周期性三方面对相关问题给予解答，以期为广大高中生在学习数学时提供一定的参考，从而进一步深化对三角函数的认识与理解。

由于数学本身的抽象性特点，高中生在学习这部分知识时，理解能力较差，数学与物理、化学等科目的最大不同之处在于，没有具体的实验操作，这在学习数学的过程中不能把握知识的本质所在。所以，应该将理论知识作为基础，分析出三角函数的解析式，利用定义去证明函数的最值与周期性，从而解决相应问题。

数学三角函数的解析式

在学习三角函数理论知识的过程中，要重点对公式、性质有多方面的了解。确定解析式时，要利用以往学习过的基本公式通过不断地分析与推理，得出新的函数。遇到数量较多、容易出现混淆的题目时，首先要在脑海中形成一个特定的知识网络，这样对题目才能有一个整体的分析思路。其次是要保证解题的准确性，需要仔细阅读，找出与题目相符合的函数性质与关系，从已知条件中明确问题，也可以利用数形结合的方式进行灵活的解题运算。最后从列出的全部条件中，分析出三角函数的解析式与取值范围。

例如：分析观览车时，其圆的半径为4.8米，圆上的最低点与地面之间的距离为0.8米，观览车转动的速度为每圈1分钟。当圆心O与A点和地面相互垂直时，以OA为开始边，逆时转动到OB，假设B点到地面的距离高度为h,求出h到θ的函数解析式？

分析:因为高度h等于0.8+OA+BC=0.8+4.8+OBsinα=5.6+4.8sin(θ-90°），所以得出h与θ之间的函数解析式为h=5.6-4.8cosθ,且θ的取值范围大约等于0。单位圆的定义是三角函数根据半径为1的原点进行分析计算，逆时针的方向为度量为正角，而顺时针的度量是负角，图形只的三角式则确定了一个公式，sinθ=1/y,和cosθ=1/x。求三角函数的解析式有三种办法:解方程组、分讨论以及平移坐标，这道题则可以根据已知条件，进行分析讨论，依次列出函数的分析式，分类讨论。

数学三角函数的最值探讨

求解三角函数的最值不仅是三角函数基础知识的综合运用，灵活的运用三角公式对函数进行基本的变形，将其中的图像、概念以及诱导公式全方位的考虑。综合题型的运用是将三角函数中的基本性质进行总结归类，这样不仅方便掌握三角函数的基础知识，也能增强学习数学的兴趣。但是就目前高中生的学习现状而言，容易将正弦函数与余弦函数之间的性质与图像混淆。所以在实际解题中，应该把握题目的本质，分析出根本原因，找到合适的公式，从而减低解题难度。

例如熟练地掌握三角函数的变形公式，要学会将复杂的三角函数简单化，能够根据图象进行函数性质的描述。熟记三角函数公式，通过不断的做题模拟，从而掌握三角函数的变形技巧。例如：三角函数为y=5sinx+cos2x，求的函数的最大值?

分析:因为y=5sinx+（1-2sin·x）=-2sin·x+5sinx+1,由 于 sinx大 于 等于1且小于等于-1，所以可以知道，但sinx等 于-1时，x=2nπ-π/2，y的 最小值为-6。当sinx等于1时，也就是x=2nπ+π/2，y的最大值是4。这是利用配方法求得函数的最小值与最大值，其中需要注意的是不能将三角函数与二次函数

相互混淆。要正确熟练地掌握三角函数最值的相关问题，需要对基本题型有一个大概的了解,这样既能增强自身的主观能动性，也能提高学习效率。积极主动的预习相关函数知识，在学习的过程中要注意整体的三角函数系统性问题，高效率的领悟诱导公式的推广以及应用，提升三角函数的系统性。

数学三角函数的周期性分析

三角函数的周期性与函数的奇偶性有着密切的关系，掌握正弦函数与余弦函数的周期性。数学的基本概念在解题中具有重要的作用，也是最基本的思维形式之一，函数周期的概念是对于函数f（x）,如果存在一个合理的非零常数时，使得X的取值定义域内的每一个值都会存在f(x+T)=：f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，而其中的常数T则是函数的周期。

例 如：y=s i n(2 x-π/3)、y=tan(2x-π/3)、y=cos(2x+π/6)和y=tan(4x-π/6),最小函数为π/2的是?

分析:根据三角函数的周期性可以得到正弦、余弦的最小正周期是2π/W,正切型最小周期为π/W，进而分析四个选项中的函数最小正周期。所以y=sin(2x-π/3)、y=cos(2x+π/6)的最小正周期为π，y=tan(2x-π/3)最小正周期是π/2，y=tan(4x-π/6)的最小正周期为π/4。本题主要考查了三角函数的周期性以及公式的灵活掌握，在同一个角的三角函数或者是三角函数的形式就可以求出周期。掌握数学函数中的基本概念，这样才能理解各种公式与定理，做题时一定要把函数化解之后再去求值域，通过对实例的具体分析，感受到周期现象的广泛存在，增强自身的学习应用意识。

三角函数作为一种函数的意义所在，知识结构上可以与基本函数相互结合，对于三角函数处理图像，也可以利用单位圆作为辅助手段，从而正确的分析问题。我们需要做到的是理解函数中解析式、最值范围以及周期函数等基本题的解决，明白三角函数并不是一个附属产品，将其中抽象性的概念具体化，从而促进自身的全面发展。

长沙市麓山国际实验学校）