讲类同，讲区别

赵晓辉 杨广武

【摘要】本文试图用辩证唯物论观点分析复变函数论的发生和发展以及复变函数与实变实函数的关联和区别.

【关键词】实变实函数；复变函数；类同；区别

【基金项目】河北省教委基金资助项目（2350044）.

复变函数论是数学分析的后继课之一（本文所指为单复变函数论，下同）.在教与学中，如何认识和处理二者之间的关系，我们也想谈一点意见.

我们一直坚持主张，要用辩证唯物主义和历史唯物主义的世界观来认识数学学科.复变函数的发生和发展，也是符合辩证唯物主义的认知论的，它是因科学和实际应用的需要而有一个发生和发展的过程的，而且至今还在继续发展着.

第一次提到“虚数”，把它作为负数的平方根，还是16世纪的事.直到18世纪中叶，复数仅仅是偶然出现在个别数学家的著作里.第一篇复数理论的论文是欧拉（Euler）用俄文发表的，符号i=-1也是欧拉在研究流体力学中首创使用的.高斯（Gauss）把复数定义为有序的实数对，并把复整数定义为a+ib，其中a，b为普通整数.欧拉是复变函数的一个缔造人，他详细地研究了复变函数的初等函数（如，对数函数、指数函数、三角函数和反三角函数），著名的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，把指数函数与三角函数联系了起来，并得到了令人叫绝的关系式eπi+1=0（把e，π，i，0，1放在一个等式中）.欧拉把复变函数应用到流体力学及地图制图学等实际问题中.任何一门学科，如果无用，它就不可能长期存在和发展.20世纪中叶，关于复变函数及其拓展在弹性理论和空气动力学等领域的广泛应用，均已成书.20世纪80年代，钱学森在一封信中明确谈到复变函数的重要应用性（发表在中国数学会主办的《数学通讯》中）.著名数学家G·波里亚与G·拉达合作所著《复变函数》一书中，多处极力讲述应用性内容.

一、形式类同，但有区别

设z=x+iy，w=u+iv，复变函数w=f（z）定义在形式上与一元实变实函数y=f（x）相同，但这里讨论的是复变函数，一般涉及四个实变量x，y，u，v.y=f（x）的图形是xOy坐标平面上的一条曲线，而w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）就不能在通常具有直观性的一个平面上作图，所以常说w=f（z）构成一个从z平面的一部分（定义域）到w平面的一部分（函数值域）的映射（映照）.

关于极限 limn→∞zn=z0及 limz→z0f（z0）=A，形式上也与一元实变实函数情形类同，而实际上它们的关系是

limn→∞zn=z0→←limn→∞Re（zn）=Re（z0），limn→∞Im（zn）=Im（z0）；

limz→z0f（z）=A→←lim（x，y）→（x0，y0）Ref（z）=Re（A），lim（x，y）→（x0，y0）Imf（z）=Im（A）.

即研究一个复数序列的极限问题，相当于对应地研究两个实数序列的极限问题.关于f（z）在点z0=x0+iy0处连续，即 limz→z0f（z）=f（z0），也相当于对应地研究两个二元实变实函数在点（x0，y0）处连续问题.由在复数域内关于正弦函数、余弦函数、指数函数及对数函数的定义可知，正（余）弦函数不再是有界的，而指数函数为周期函数，还有对数函数的多值性，此处不再赘述.

关于数域的扩张，讲到复数域时特别强调它是“良序集”（即复数不比大小）.所以，在复变函数的极限中没有“夹逼准则”，没有“单有界”定理，也没有左右极限概念.在导数及微分之后，没有“微分学中值定理”，没有以微分学中值定理为基础证明的“洛必达法则”，没有函数单调性的概念，没有函数的最大值和最小值，只有最大模原理.

二、类比化归，关注精彩

18世纪数学界的中心人物，占统治地位的理论物理学家，并能与牛顿、高斯齐名的人是欧拉，他所发现的复变函数里的那些结果和方法，被利用、发展、改进和系统化.19世纪复变函数已成为数学学科的一个最重要的分支.做出贡献的主要代表人物是柯西（Cauchy）、魏尔斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼（Riemann），前两人的主要工作在積分和级数，黎曼的工作是复变函数的几何理论（现代人称为“共形映射”）.

函数w=f（z）在点z0=x0+iy0可导的定义为 limz→z0f（z）-f（z0）z-z0或 limΔz→0f（z0+Δz）-f（z0）Δz存在.这个定义在形式上也与一元实变实函数的导数定义类同，而实际上则不相同，那里只有Δx>0而趋于0，即Δx→0+和Δx<0而趋于0，即Δx→0-，从而有左右导数，而这里z→z0（或Δz→0）是要沿任何途径，不止两个方向.我们知道研究w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）相当于研究一对二元实变实函数，而在二元实变实函数中没有可导概念，只有偏导数和全微分，正是由于这种联系，得到了复变函数在一点处可导的所谓C-R条件（C-R方程是Caucky-Riemann方程的简称）.C-R条件是u（x，y）及v（x，y）在点（x0，y0）可微，且满足C-R方程ux=vy，uy=-vx.f（z）在一点z0可导，也叫在z0单演；而f（z）在点z0解析，则要求存在z0的一个邻域N（z0），f（z）在N（z0）内每一点都可导.如果f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在D内解析.因为以后可以证明解析函数f（z）的导函数f′（z）也是解析的.因此，f′（z）=ux+ivx=vy-iuy是连续的，从而u（x，y），v（x，y）均有一阶连续的偏导数，则它们均可微.所以，在前述的C-R条件中可以写为u（x，y），v（x，y）在点（x0，y0）处有一阶连续偏导数，且满足C-R方程.f（z）=u+iv在区域D内解析的充要条件可叙述为，u，v在D内有一阶连续的偏导函数，且满足C-R方程.关于C-R条件，苏联数学家们研究指出，在柯西、黎曼之前，达朗倍尔和欧拉在研究流体力学和复变函数的积分问题时，早已经得到了这个条件.所以，他们称之为达朗倍尔-欧拉条件.在一元实函数中构造一个处处连续、处处不可导的函数是很费力、很困难的，而在复变函数中f（z）=Re（z），f（z）=z均处处连续、处处不可导.此处我们不再叙述关于解析函数的其他等价条件.endprint

再如，复变函数积分的定义：

∫Cf（z）dz=limmax|zk+1-zk|→0∑nk=0f（zk）（zk+1-zk）.

其中，C为一定向的可度长曲线.形式上也与一元实变实函数的定积分定义相像；而实际上这里C是复平面上一条定向可度长曲线，而不是实数轴上的一个区间，zk+1-zk=Δzk也不是实数轴上小区间的长度Δxk；函数值f（zk）一般也不保证是实值.当然，还可以与实变实函数中的曲线积分相比较和联系，在非数学专业用的一些教科书中，也就是用组合型对坐标的曲线积分的有关结论来证明复变函数理论的基本定理的（柯西积分定理）.

复变函数论中心是研究解析函数，有的就将书名写为《解析函数论》，而柯西积分定理被视为理论基础.由此得到的柯西公式也是极为重要的，在复变函数的课程中还要介绍一下柯西型积分.所证明的一个在区域D内解析的函数f（z），有各阶导数，这种惊人新鲜的结论，在一元实变实函数中是没有的.

关于解析函数的级数展开，也是借助于柯西公式完成的.在罗朗级数的基础上，讨论了函数f（z）在孤立奇点处的性态.有一个索霍茨基定理（人们常说的魏尔斯特拉斯定理）说：如果a是函数f（z）的一个本性奇点，则对于任何一个有限的复数A或∞，总存在一个点列zn→a，使得 limn→∞f（zn）=A.这是多么新鲜奇特的结果呀！

在复变函数中，黎曼的重要贡献是复变函数的几何理论，我国数学界老前辈陈建功先生曾翻译过一个大本专著《复变函数的几何理论》（现在通常说成共形映射）.共形映射的基本问题是给定两个区域D和G，是否存在一个单叶解析函数把D共形映射为G，这个事实称为黎曼存在定理.著名数学家庄圻泰先生，把他20世纪50年代在北京大学专门化课程中的讲稿再簡练，写在教科书中.正是依据黎曼存在定理，我们才可以常常把复杂区域内的问题归结为在单位圆内或圆界多连通区域内来讨论.

由于科学和实际应用的需要，进入20世纪复变函数论得到了巨大的发展.苏联数学家们侧重于在弹性力学等方面的应用，И·Н·Вeкуa院士，С·Γ·Мусхелищвили院士以及Ф·Д·ГaxoΒ等都先后出版了专著，美国L·Bers院士从研究空气动力学问题，也出版了专著[3].尤其应该特别提到的，是我国在这个研究方向上已经形成了一个队伍，赶超世界先进水平，并于20世纪80年代末举办了第一次该方向的全国学术会，至今已举办了十七次，并多次主办国际学术会，在偏微分方程的复分析方法、拟共形映射及Clifford分析等方面的研究，都取得了可喜的成果.例如，在偏微分方程的复分析方法方面（也叫函数论方法），И·Н·Вeкуa及L·Bers大都是讨论线性、拟线性椭圆型方程，而我们不但研究了非线性椭圆型方程，而且还用复分析方法讨论了拋物型和双曲型偏微分方程的有关问题.当然，偏微分方程的复分析方法，至今仍是国际数学界的一个热门话题，还在继续发展着.

【参考文献】

[1]И·Н·Вeкуa.广义解析函数[M].中国科学院数学研究所偏微分方程，北京大学数学力学系函数论教研组，合译.北京：人民教育出版社，1960.

[2]L·Bers.准解析函数论[M].闻国椿，译.北京：科学出版社，1964.

[3]G·波里亚，G·拉达.复变函数[M].路见可，等译.北京：高等教育出版社，1985.

[4]М·А·拉甫伦捷夫，В·А沙巴特.复变函数论方法[M].施祥林，等译.北京：高等教育出版社，1956.endprint