小题莫大做 勤思方法多

摘 要：本文通过对数学习题的解法探析，提炼一些方法和思考。

关键词：习题；方法；思考

以前上晚自习的时候，我们都在做老师布置的习题，其中有这样一道题：

【题1】 已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E，F，G，H，设四面体EFGH的表面积为T，则T/S等于 。

看到题目以后，我立即画图（图形很复杂的哦），然后写呀、算呀，十多分钟后，终于算出来了，和同桌小红对答案的时候，小红看到我写得满满的草稿纸，说：我知道你怎么做的，太复杂了。我问她是怎么做的，她说：因为这是一个填空题，所以可以考虑十分特殊的情形。假如把四面体ABCD“压扁”成一个高为0的“四面体”，那么四面体EFGH也会被“压扁”到高为0，这样，两个四面体的表面就分别被压到一个三角形中去了，如图，问题就转化成求两个三角形面积之比，求解起来就十分简单了。

小红的想法真不错，省去了对复杂图形的研究，把立體几何问题转化为平面几何问题，达到了化繁为简的目的。

后来我在做到下面的一题（题2）的时候，突然想到小红的这一做法，很快就获得了答案。题目如下：

【题2】 △ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为 H，向量OH=m（OA+OB+OC），则实数m= 。

解题的时候，考虑到题目对三角形的类型没有明确的要求，意味着结论对任意三角形都成立，故可取等腰直角三角形，则A与H重合，所以易求得m=1。

能够在解不同的题目时用同一种思路，那么一定意味着一个有效的解题策略。这时，我想起上数学课的时候，老师经常告诉我们一些他的“独门秘笈”，比如“加大思维量就是减少计算量”，“对形式上比较规整、对称的式子不要轻易去破坏”，“充分尊重形式的解题方法才是最好的方法”等等，听起来很美好，但做起来，结果却是那么遥远。直到进入高三以来，做的题多了，和同学们的交流多了，这才慢慢体会到老师所言不虚。最近我花了一点时间，把以前积累的“好题”中的选择填空题的解法认真整理了一番，有了不少心得体会，写在下面，与同学们分享。

一、 特值法

一些题目的条件具有一般性，即对所有情形都成立，那么对某特殊情形肯定也成立。所以可取特殊值确定一个正确的答案。一般取符合条件的一个字母或参数的确定值，或一个确定的函数，或一个特殊的图形（位置）。

【例1】 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）

A. 130B. 170C. 210D. 260

分析：本题结论对所有的m值都成立，对特殊的m值比如1也成立，若取m=1，立得前3m项和为210，故选C。

【例2】 函数y=x-1+1（x≥1）的反函数是（ ）

A. y=x2-2x+2（x<1）

B. y=x2-2x+2（x≥1）

C. y=x2-2x（x<1）

D. y=x2-2x（x≥1）

分析：令x=1，则y=1，则其反函数当x=1时y=1，而选择支A要求x<1，选择支C、D中当x=1时y=-1，故立即排除A、C、D，选B。

【例3】 如果奇函数f（x）在[3，7]上是增函数且最小值是5，则f（x）在[-7，-3]上是（ ）

A. 增函数且最小值为-5

B. 减函数且最小值为-5

C. 增函数且最大值为-5

D. 减函数且最大值为-5

分析：构造一个符合条件的增函数f（x）=53x，立选C。

【例4】 已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β为参数，0≤α<β≤π，是否存在这样的α，β，使得 f（θ）是与θ无关的定值？

分析：如果存在这样的α，β，使得f（θ）是与θ无关的定值，那么可分别取θ值为0，π2，-α，-β，则依次可求得：

f（0）=sin2α+sin2β

fπ2=3-sin2α-sin2β

f（-α）=sin2α+sin2（β-α）

f（-β）=sin2β+sin2（α-β）

因为f（θ）是与θ无关的定值，故：f（0）=fπ2=f（-α）=f（-β），

由此可以解得

sin2α=sin2β=sin2（β-α）=34

又0≤α<β≤π，则0<β-α≤π

sinα>0，sinβ>0，sin（β-α）>0

所以sinα=sinβ=sin（β-α）=32

解得：α=π3，β=2π3代入f（θ）=32。

故当α=π3，β=2π3时，f（θ）是与θ无关的定值。

二、 赋值法

即我们平时常说的代值检验法，当代入一个符合条件的字母或变量的值时，其对应的结果应该在所有符合条件的结果的集合中，主要用于求值和求变量范围。

【例5】 已知x>0，y>0，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是（ ）

A. 2B. 22C. 2D. 1

分析：当x=y时，可以推出a≥2；当x≠y时，不妨设x=1，y=4，可以推得a≥355，2≥355。即当x≠y时，a可取比2更小的值即可满足，因此满足条件的a的最小值是2。

【例6】 若sinα+cosα=-15，α∈（π，2π），则tanα=（ ）

A. -43B. -34

C. -43或-34D. 43或34

分析：容易想到常用勾股数3，4，5。又由于sinα<0，故令sinα=-45，可求得cosα=35，从而tanα=-43，选A。endprint

三、 极（限）值法

考虑极限值或极限位置，注意此时极限值或极限位置未必在条件范围内，但我们可研究极限值或极限位置附近的情形，据此判断答案取值情形。

【例7】 函数y=x-1+1（x≥1）的反函数是（ ）

A. y=x2-2x+2（x<1）

B. y=x2-2x+2（x≥1）

C. y=x2-2x（x<1）

D. y=x2-2x（x≥1）

分析：对原函数，若x→+∞，则y→+∞，从而反函数中，x必可 取大于1的值，立即排除A，C；再考虑原函数不过原点，排除D。

【例8】 椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的切线交x轴于A，交y轴于B，则|AB|的最小值为（ ）

A. 2a2+b2B. a+b

C. 2abD. 4ab

分析：将椭圆变成极特殊的情形——圆，则不妨令a=b=1，如图，C为切点。

则：|AB|=|AC|+|BC|≥2|AC|·|BC|=2|OC|2=2

即当a=b=1时|AB|=2，在四个选项中，只有B满足。

四、 估值法

根據题给条件，估计取值范围，排除错解。

【例9】 已知直线l过点（-2，0），当直线与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的范围是（ ）

A. （-22，22）B. （-2，2）

C. -24，24D. -18，18

分析：如图所示，当直线过圆的最高点时斜率为1/3，当相切时知所求斜率的最大，由图形可知最大值比1/3略大，选C。

【例10】 设0≤x<2π，且1-sin2x=sinx-cosx，则（ ）

A. 0≤x≤πB. π4≤x≤7π4

C. π4≤x≤5π4D. π2≤x≤3π2

分析：1-sin2x=sinx-cosx≥0，所以sinx≥cosx，故选C。

以上这些做法，都巧妙地避开了比较繁杂的计算，而且能够快速、准确地获得正确的答案，对提高全卷的得分大有裨益。亲爱的同学，你有哪些解题的“独门秘笈”呢？

作者简介：

任景舜，安徽省亳州市，亳州市第一中学高三（3）班。endprint