广义有序加权指数平均算子及其应用

杜迎雪,常 娟,刘卫锋

(郑州航空工业管理学院 数理系，河南 郑州 450015)

广义有序加权指数平均算子及其应用

杜迎雪,常 娟,刘卫锋

(郑州航空工业管理学院 数理系，河南 郑州 450015)

基于罚函数通过构造优化模型提出了一种新的算子——广义有序加权指数平均算子(GOWEA)，并且研究了GOWEA算子的性质.为了确定权重，提出了GOWEA算子的orness测度并研究了orness测度的性质.最后,将GOWEA算子应用到多属性群决策问题中.

多属性决策；广义加权指数平均算子；广义有序加权指数平均算子；有序加权平均算子

多属性决策作为现代决策理论的一个重要分支，其理论与方法广泛应用于经济、管理、军事、工程诸多领域，如经济效益评价、供应商选择、武器装备性能评价、工程招标与投标等.多属性决策的核心问题之一是各个属性值按照什么方式进行综合，即集成算子的确定；核心问题之二是在将属性值进行综合时，各个属性的重要性权重如何确定，即集成函数中各个待集成参数的重要性权重.一个有效的集成算子能够更加明确地反映决策结果，使多种属性值在进行综合应用时不能缺失，正确体现决策效果.鉴于集成算子及其权重在多属性决策中的重要性，许多学者对信息集成算子及其相关问题进行了广泛深入的研究.Yager[1]于1988年提出了有序加权平均算子；Chiclana等[2]和Xu等[3]将OWA算子进行推广，提出了有序加权几何平均(OWGA)算子；陈华友等[4]提出了有序加权调和平均算子等.2004年，Yager[5]将OWA算子和广义有序加权平均结合，提出了广义有序加权平均(GOWO)算子；周礼刚等[6-9]以基于罚函数的优化模型，通过求解优化模型来获取信息集成函数，从而提出了一些广义信息集结算子：广义有序加权对数平均算子、广义有序加权平均算子、广义有序加权指数比例平均算子、广义有序加权对数比例平均算子等，由这种方法构建的集结算子能够从一定程度上反映原始数据的大量信息，并且具有更强的理论基础，而不同罚函数构建的优化模型得到的信息集结算子也不同.目前，关于这类更具有理论性质的集成算子的讨论仍然不是很多，所以有必要进行进一步研究.

本课题构造了一个新的罚函数，通过构建一个偏差模型得到了一种信息集结算子——广义加权指数平均算子(GWEA)，进而定义了广义有序加权指数平均算子(GOWEA)，并研究其性质.为了确定广义有序指数加权平均算子的集结权重，定义了GOWEA 算子的orness测度，并且研究了orness测度的性质.为了确定权重，基于orness测度提出了广义最小平方法优化模型.最后，通过实例研究GOWEA 算子在多属性群决策中的应用.

1 预备知识

minJ=∑ωi[(ey)λ-(eai)λ]2.

定义1若函数GWEA∶Mn→M，满足

例1设a1=4，a2=3，a3=5，a4=3，加权向量ω=(0.2,0.3,0.4,0.1)T，当参数λ=0.5时，则

GWEA(4,3,5,3)=ln(0.2×e2+0.3×e1.5+0.4×e2.5+0.1×e1.5)=4.194 4.

若考虑数据的排序，则得到下面的GOWEA算子.

例2利用例1中数据，b1=a3=5，b2=a1=4,b3=a2=3,b4=aa=3,当参数λ=0.5时，则

GOWEA(4,3,5,3)=ln(0.2×e2.5+0.3×e2+0.4×e1.5+0.1×e1.5)2=3.861 4.

表1 GOWEA算子集结结果Tab.1 The solution of the GOWEA

故GOWEA算子可以看作OWA算子的推广.

例3利用例1中数据，b1=a3=5,b2=a1=4,b3=a2=3,b4=a4=3，分别取λ=-1,0.000 1,0.5,1,2，根据GOWEA算子计算得到表1.

下面讨论GOWEA算子的性质.

定理1(单调性) 设f为GOWEA算子，若对任意的i有ai≥ci，则f(a1,a2,…,an)≥f(c1,c2,…,cn).

式中:bj是数据ai中第j大的数;dj是数据ci中第j大的数.由于ai≥ci，所以bj≥dj.

f(a1,a2,…,an)≥f(c1,c2,…,cn).

定理2(置换不变性) 设f为GOWEA算子，(c1,c2,…,cn)为(a1,a2,…,an)的任一置换，则

f(a1,a2,…,an)=f(c1,c2,…,cn).

定理3(幂等性) 设f为GOWEA算子，若对于(a1,a2,…,an)，有a1=a2=…=an=a，那么，

f(a1,a2,…,an)=a.

证明由定理1和定理3可证.

定理5(关于λ的单调性) 设f为GOWEA算子，若参数λ1≥λ2，则f(λ1)≥f(λ2).

注2 由定理5关于λ的单调性及GOWEA算子的有界性可知：若λ→+∞，则GOWEA算子可转化为极大值算子；若λ→+∞，则GOWEA算子可转化为极小值算子.

定理6(平移不变性) 设f为GOWEA算子，若对于(a1,a2,…,an)及常数c，则f(a1+c,a2+c,…,an+c)=f(a1,a2,…,an)+c.

2 GOWEA算子的orness测度

参见文献[10-12]，给出GOWEA算子的orness测度.

显然，当ω=(1,0,…,0)时，ornessλ(ω)=1；当ω=(0,0,…,1)时,ornessλ(ω)=0.

定理7orness测度的有界性：0≤ornessλ(ω)≤1.

证明从ornessλ(ω)定义中可知其与GOWEA算子之间的关系为

定理9若λ1≥λ2，则ornessλ1(ω)≥ornessλ2(ω).

定理11若设权重向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，其反序向量为ω′=(ωn,ωn-1,…,ω1)T，则有ornessλ(ω′)=1-orness-λ(ω).

3 确定GOWEA算子权重的最小平方法

在给定orness水平下，为了确定GOWEA算子权重可构造如下优化模型：

上述确定权重的方法称为广义指数平方法，该方法要求相邻两项权重越接近越好，而不考虑权重的分布情况.决策者可以根据需要来选择α的值.此模型为非线性规划模型，可以利用Matlab最优化工具箱或者Lingo软件来求解.

4 基于GOWEA算子的决策方法

在多属性决策中，属性(或称为指标)的物理量纲或者数量级不同，首先对属性值进行标准化.属性分为两种：效益型和成本型.

可以选择不同的标准化方法[13]，根据GOWEA算子的多属性，决策方法步骤如下：

步骤2根据广义指数平方法计算属性权重向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)T.

步骤4根据广义指数平方法计算决策者权重向量ω=(v1,v2,…,vt)T.

步骤6根据集结结果进行排序，选出最优方案.

表2 专家1决策矩阵A(1)-d1Tab.2 The decision matrix of expert 1 A(1)-d1

5 决策应用

例4考虑一个采购问题.某航空公司需要采购飞机，经过市场分析有6家飞机制造商待选：x1,x2,x3,x4,x5,x6.为了选出最佳采购商，经过仔细分析，航空公司组织了一个3人决策专家组，他们决定从以下几个属性进行评价：价格c1、工期c2、风险c3、质量c4、施工技术c5、企业信誉c6，专家组就这6个属性对6家公司进行评价，得到的评价结果见表2至表4.

表3 专家2决策矩阵A(2)-d2Tab.3 The decision matrix of expert 2 A(2)-d2

表4 专家3决策矩阵A(3)-d3Tab.4 The decision matrix of expert 3 A(3)-d3

步骤1属性c1,c2,c3为成本型属性，c4,c5,c6为效益型属性，对决策矩阵进行标准化，得到标准化决策矩阵：

步骤2根据广义指数平方法(λ=1,μ=2,α=0.5)得到权重向量为

ω=(0.123 2,0.140 8,0.161 9,0.180 2,0.193 4,0.200 5)T.

步骤3利用GOWEA算子(λ=1)的R(1),R(2),R(3)进行集结，得到

r11=1.675 3,r12=1.394 1,r13=1.388 3,r21=1.553 5,r22=1.274 0,r23=1.288 9,r31=1.500 9,r32=1.200 5,r33=1.127 2,r41=1.404 8,r42=1.172 3,r43=1.219 9,r51=1.568 6,r52=1.320 4,r53=1.339 5,r61=1.296 5,r62=1.167 1,r63=1.250 4.

步骤4利用广义指数平方法(λ=1,μ=2,α=0.5)得到决策者权重向量为

v=(0.246 3,0.347 6,0.406 1)T.

步骤5再利用GOWEA算子(λ=1)得到方案综合属性值：

r1=1.468 9，r2=1.355 3，r3=1.256 5，r4=1.250 6，r5=1.393 7，r6=1.229 3.

步骤6综合属性值降序排列为r1>r5>r2>r3>r4>r6.

步骤7根据综合属性值的排序，方案的排序结果为x1≻x5≻x2≻x3≻x4≻x6.因而，最优方案为x1.

[1] YAGER R R.On ordered weighted averaging aggregation operators in multi-criteria decision making[J].IEEE Transactions on Systems,Man and Cybernetics,B,1998(18):183-190.

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[13] 徐泽水.不确定多属性决策方法及应用[M].北京：清华大学出版社，2004.

Generalizedorderedweightedexponentialaveragingoperatoranditsapplications

DUYingxue,CHANGJuan,LIUWeifeng

(DepartmentofMathematicsandPhysics,ZhengzhouUniversityofAeronautics,Zhengzhou450015,China)

We present a new operator called the generalized ordered weighted exponential averaging (GOWEA) operator based on a minimization problem with penalty function. We discuss different properties of the operator. To determine the GOWEA operator weights, we propose the orness measure and the generalized least squares method which does not follow a regular distribution. Finally, we give an applied example to illustrate the validity and practicability of projection method.

multi-attribute decision-making; generalized weighted exponential averaging; generalized ordered weighted exponential averaging; ordered weighted averaging operator

C934

A

1674-330X(2017)04-0076-07

2017-09-07

国家自然科学基金(11501525)；河南省基础前沿研究计划项目(152300410126)；河南省教育厅科学技术研究重点项目(14A630017)；郑州航空工业管理学院青年科研基金(2014113001，2016113003，2017113003)

杜迎雪(1979-)，女，河南许昌人，讲师，硕士，主要从事应用数学研究.