把握本质，借“题”发挥，提高实效

王友春

高中数学的教与学离不开解题，但题不在多，而在于让学生“学一题，触一类，通一片”；“一个专心的、认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像一道门，把学生引入到一个完整的理论区域”（数学家波利亚）.教师在解题教学中，理应科学、合理地设计一系列问题，形成一个螺旋式上升的“问题串”，从本质上去引领学生探究、解决问题，培养学生的思维能力.本文笔者结合自己的一次教学实践，通过对出现在函数题中含全称、存在量词的一系列问题（问题串）的分析、探究，以期提高学生的探究思维能力和课堂的教学实效，不妥之处敬请方家指教.

一、问题的引入

问题1已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x2-2ax，a∈R，命题“x∈[1，e]，f（x）≤g（x）成立”是真命题，则实数a的取值范围是.

分析∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴对f（x）≤g（x）实行“分离变量”，转化为利用导数求新函数的最值问题.

解∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴x∈[1，e]時，x-lnx+2ax-x2≤0，即a≤x2+lnx-x2x恒成立，设h（x）=x2+lnx-x2x（x∈[1，e]），则h′（x）=x2+1-lnx2x2，设k（x）=x2+1-lnx，由k′（x）=2x2-1x得：当x∈[1，e]时，k′（x）>0恒成立，∴k（x）在[1，e]上是增函数，而k（1）=1>0，∴h′（x）>0（x∈[1，e]），∴h（x）在[1，e]上也是增函数；∵hmin（x）=h（1）=1，∴a≤1.

评注1.对于含参数a的不等式f（x）≤g（x）（或f（x）≥g（x））恒成立问题，可以实施“分离变量”转化为a≤h（x）（或a≥h（x））恒成立，进而使a≤hmin（x）（或a≥hmax（x））即可；也可以转化为f（x）-g（x）≤0（或f（x）-g（x）≥0）恒成立，进而使[f（x）-g（x）]max≤0（或[f（x）-g（x）]min≥0）即可.

2.为了更好地培养学生的探究思维，由此题的分析和解决，笔者就以“问题1”为引例，“借”题发挥，设计了一系列问题，让学生“学一题，触一类，通一片”，努力使得本次课成为一次生动的习题探究课.

二、总结与反思

笔者设计的7个问题以问题1为源头借“题”发挥，进行引申与拓展，给出了函数题中含全称、存在量词的命题的常见类型及其转化方法，将复杂的问题简洁有效地解决.探究的这些问题及其解法并不是孤立的，而是相互联系和渗透的，这一“串”问题及其探究过程不仅是引领学生们去联想、探索、探究出某类问题的内在规律，也是帮助学生掌握数学知识、培养数学能力、提升思维水平、形成数学品质的重要途径和提高数学课堂效益的主要手段.

（一）善于借“题”发挥，自觉积累数学解题经验

解题也是一种创新，作为数学的学习，积累一定的解题经验和把握其中的方法和规律对以后解题的帮助是很大的，而善于借“题”发挥，编题变式训练是解题经验自觉积累的有效途径.如在上述问题的探究后我们可以将其中的条件或结论适当变化，编设出一些新题，进而巩固方法，辨析异同，提升能力.

波利亚曾形象地说“好问题同某些蘑菇有些相似，它们大都成堆地成长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能就有几个”.通过学生的编题变式训练进行模仿求解，使其思维得到强化，理解更加深入，这是我们教学中应当倡导的.

（二）数学的方法和思维必须亲历方晓曲折和乐趣

在数学学习中，学生普遍存在“一学就懂、一考就懵”、“懂而不会”的现象，课上听得懂，课后自己解“还是不会”；知道某类题可以这样操作，但具体解决时错误百出，等等.因此，作为数学教学更需要充分发挥学生的主体作用，让学生亲历解决或运算过程，增强运算的基本功和探究中的可行性分析和预判能力；更需要指导学生“明算理、优算法、重突破”；如上面的问题3和问题7，分类讨论的思想学生都能想到，但为了优化问题的解决，可以引导学生采用“正难则反”的思想，其实也就是“求简变通”的思想，并留时间让学生亲自操作，提高实效.

解题教学强调讲题要讲透，但“透”并非仅仅是分析到位、展示详尽，更要让学生们能达到“会一题、通一类”的效果，透过现象、抓住实质、把握规律，提升理性思维能力，这应该是高中数学教学的指导思想和根本目标.

（三）思考和反思能让学生的学习更加投入和深入

所谓的解题反思实际上就是在一个问题解决后再进行如下的探索：本题的命题意图是什么？本题考查了那些知识和能力？解题过程是否正确、合理？本题还有没有其他的解法或者更优的解法？能否推广本题的解法或结论，得到更具一般性的结论？这些反思有助于学生在原有基础上的提高，进一步建构更高层次的认知.因此，在数学学习中要经常对所学知识和方法进行归纳总结，探寻突破口和规律；对比较典型的问题（如上面的问题）要留足时间让学生认真审题，理解问题的本质；在问题探究中应尽可能地引领学生多方法、多角度地思考和发现问题.通过对典型问题的“一题多解、一题多变、多题同解”地训练，既能促进学生深入理解知识，又能培养学生的思维能力，从中学到“等价转化、数形结合”等基本的数学思想.

总之，在解题教学和学习中我们应该更多地关注解题分析，不仅关注如何获得解答，更要对“解答”进一步分析而增强解题能力、优化知识结构，学会“数学地思考”.真正实现罗增儒先生倡导的“通过有限的典型例题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智”.

【参考文献】

[1]苏明亮.高三数学复习中要善于借“题”发挥[J].高中数学教与学，2016（4）：30-32，43.

[2]樊宏标.利用问题串优化习题教学，培养学生探究能力[J].中学数学教学参考（上），2016（4）：37-40.endprint