计数原理和排列组合教后思考

滕璐

排列组合问题是高中教学中比较难理解的部分，因为这部分的题目类型较多，总结归纳起来很繁杂，因此，在教学过程中怎样将复杂多变的题型归类汇总使学生容易掌握，是教师所思考的问题.刚学完排列组合，思考选修2-3第一章的排列顺序，想了许多，将计数原理的前两节理顺了.

加法原理和乘法原理是计数原理的核心和根本，返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算和乘法运算的推广，它们是解决计数原理的理论基础.本章开篇在列举一些典型事例的基础上，用明确的语言指出了计数原理与加法、乘法运算之间的这种关系，并提出“不通过一个一个地数而確定这个数”的问题，从而使学生体会学习计数原理的必要性和重要性.由于两个计数原理的这种基础地位，并且在应用它们解决问题时具有很大的灵活性，也是训练学生推理技能的好办法，教科书通过生活中的实际问题概括出计数原理后，安排了难度递增的9道例题，让学生熟悉原理并会运用其解决实际问题.

排列组合则是计数原理的延伸，是两种特殊的计数原理，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理.教科书从简捷运算的角度提出排列与组合的学习任务，通过具体的实例概括得出排列组合的概念，应用乘法原理得出排列数公式，应用加法原理和排列数公式得出组合数公式，教科书在排列组合后安排了8道例题，让学生熟悉公式并会运用其解决实际问题.

学生在刚学完两个计数原理时，能解决许多问题，但是都觉得很麻烦，是否有简捷一些的办法；等学完排列组合后，不是觉得简捷了，反而是更加复杂，将所学的全都搞混淆了.

计数原理中的加法原理讲的是类，乘法原理讲的是步，因而，分清加与乘关键看是否一步完成一件事.排列与组合则是排与组的问题，排列是不仅组还要排，而组合则是只有组，排列与组合的区别在于是否有顺序，同时排列与组合还不能重复选取，但乘法原理中可以重复选取.

例如，教材28页13题.

（1）有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是.

（2）要从5件不同的礼物中选出3件分送3名同学，不同方法的种数是.

（3）5名工人要在3天中各自选择1天休息，不同方法的种数是.

学生如果可以很正确地做答，那么对于排列、组合、乘法原理的掌握就很到位了.

排列主要分为两类题型：站队和组成数字.而组合则是产品选取问题，这三类问题让学生会区分是否有顺序，学生就知道何时用排列，何时用组合.学生在困惑的是，是否只要能想明白顺序，排列和组合就可以区分了.但有时如果对运用排列组合有一定难度时，采用计数原理中的枚举法效果会更好.

例如，同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有多少种？

运用排列组合时，不好处理，但学生在独立思考时，发现用枚举法很好地解决了该题.因而，当不能确定使用排列组合时，可以让学生用枚举法.

排列组合问题是高中数学的重要知识之一，或单独命题，或与概率内容相结合，一般以较易题出现，但由于解这类问题时方法灵活、切入点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为学习的难点之一.故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，运用化归思想、比较分类思想和模型化思维方法，将问题简单化、常规化.所以，在学习完排列组合后，要让学生反思总结，为高三的复习做好准备.

【参考文献】

[1]刘英.怎样讲好高中数学《排列组合》的开篇——分类计数原理与分步计数原理[J].新课程研究：基础教育，2009（8）：174-175.

[2]张文海.两个基本计数原理的教学设计及教后反思[J].上海中学数学，2012（6）：14-17.

[3]郇乐.关于排列组合问题教学的几点思考[J].新课程·中学，2013（10）：67.

[4]池俊平.对两道排列组合习题的错解成因的探究——关于计数问题的教学反思[J].数理化解题研究：高中版，2015（5）：58.endprint