Lebesgue外测度可列可加性的充要条件

谢天夏+徐晗+朱翰宬

【摘要】本文研究了Lebesgue外测度可列可加性的问题，利用外测度距离可加性和可测集隔离的方法，得到了外测度具有可列可加性的一个充要条件.该问题包含了外测度有限可加性和可列无穷多时的情况，是对已有的Lebesgue外测度有限可加性充要条件以及可列可加性充分条件的进一步推广.

【关键词】Lebesgue外测度；可列可加性；开覆盖

一、引 言

在实变函数论中，Lebesgue外测度一般是不满足可列可加性的，由此定义出可测集，当集合列中每一个集合都是可测集，且互不相交时，则能够证明出该集合列的Lebesgue外测度满足可列可加性.但是，这不是一个充要条件.此外，有些文献在论述外测度时，常常提出一些外测度有限可加性的充分条件：若E1与E2是RL（L维欧式空间）中的有界点集，且ρ（E1，E2）>0（ρ表示E1和E2的距离），则m*（E1∪E2）=m*（E1）+m*（E2），其中m*表示外测度，这就是外测度的隔离性定理.

通过隔离性定理可以获得一定的启发，如果用可测集列来“隔离”集合列中每一个集合元素，即对于集合列中的每一个集合元素，若能找到一个可测集，这些找到的可测集互不相交，那么就有可能得出這个集合列具有可列可加性，而且这种假设包含了互不相交的可测集列满足可列可加性的情况，而这种猜想的正确性由下面给出的定理1和定理2验证了.

二、主要结果

定理2说明了，若集合列外测度满足可列可加性，则必定存在另一个可测集合列，对应集合包含上述集合列中元素，且该可测集合列互不相交.

定理1和定理2联系起来看，得出下述结论：若集合列外测度满足可列可加性，则等价于该集合列中每个集合元素都能找到一个可测集合，且可测集合互不相交.