高职学生数学能力的测评因子分析及针对性的教学方法探索

祝青芳++华剑

摘 要：该研究以四川省成都市周边多所高职院校新生为研究采样对象，借助问卷调查的方法测量了反映数学能力的9个题项，并对其进行了因子分析，得到四个因子：数据处理能力、计算能力、数学建模、逆向思维能力。分析表明各因子得分均不高，说明高职学生整体数学素养偏低，针对这一情况，笔者对高职学生数学教学改革提出了一些建议。

关键词：高职高专；数学能力；因子分析

引言

目前高職高专学生生源素质呈逐年下降的趋势，而教学内容的改革却无法紧跟这种变化，尤其是基础课的教学形式和内容，这就造成了不能因材施教的现象，教学效果很不理想，老师在教学过程中很被动，无法很好地施展教学能力。为了改变这一现状，作为一名数学老师，笔者认为对每一年入校新生做一个数学能力的测评是很有必要的，这样可以很好地了解学生情况，及时调整教学内容和形式，最大可能地做到因材施教。本次研究的主要目的就是为学生的测评提供一种方法供大家借鉴，主要手段是通过问卷调查的方法获得关于学生数学能力的基础资料，并利用因子分析的手段对这些基础资料进行归纳整理，获得描述学生数学能力的若干指标，并利用因子得分对学生的数学能力进行评价。

一、 因子分析

因子分析是一种多变量降纬技术，通过分解原变量为若干因素的现行组合，找出几个主要的因素，从中归纳出潜在类别（潜变量），再借助这些潜变量反映众多原变量的信息，帮助我们对学生数学能力进行深入分析，合理解释和正确评价。

（一）因子模型

设原始量表有n 个题项（原变量）x1，x2，…，xn，标准化变形得

xi=xi-xisi，i=1，2，…n

设F1，F2，…，Fm为m 个潜变量或称之为共性因子，因子分析的主要目的是要把原变量表示为潜变量的线性组合，即得到如下表达式：

xi=Li1F1+Li2F2+…+LimFm+ei，i=1，2，…，n

ei表示变量xi的个体特征，成为个性因子，Lij称为xi在因子Fj上的载荷。为了确保共性因子唯一，这里要求共性因子均值为0，方差为1。获得共性因子的方法有很多，下面采用主成份分析法来求共性因子。

对原变量做主成份分析，得

c1=a11x1+a12x2+…+a1nxnc2=a21x1+a22x2+…+a2nxn

cn=an1x1+an2x2+…+annxn（1）

因方程组（1）系数矩阵A为正交阵，所以ATC=ATAX=X，得到原变量表达式

X=ATC

将上述方程中主成份Ci标准化并记作Fi，Fi=Civar（ci），带入方程组（1）得

x1=L11F1+L12F2+…+L1nFnx2=L21F1+L22F2+…+L2nFn

xn=Ln1F1+Ln2F2+…+LnnFn

以上方程就是因子分析的雏形，系数矩阵L称为因子载荷矩阵，该矩阵的第j列平方和反映了第j个因子对所有原变量的方差贡献程度，数值上等于样本协方差矩阵的第j大特征根。此时的因子太多，实际操作中一般我们选择特征根大于1的因子作为主因子，其它的因子合并作为个性因子，假设有m个因子对应的特征根大于1，合并其后的因子，得

x1=L11F1+L12F2+…+L1mFm+e1x2=L21F1+L22F2+…+L2mFm+e2xn=Ln1F1+Ln2F2+…+LnmFm+en

（二） 因子旋转

通过以上分析，已经基本获得了共性因子，但此时的因子含义比较模糊，为了更好地解释因子的意义，需对共性因子进行旋转，使得每一个变量在某一个因子上的载荷尽量大而在其他因子上的载荷尽量小。常用的方法是Varimax旋转，具体的做法是用一个正交矩阵右乘载荷矩阵，得到最终的载荷矩阵。

（三） 因子得分

将共性因子表示为原变量的线性组合

上式称为因子得分函数，由该函数对每个记录的因子进行估值（本文采用回归估计法），得到对应与该记录的因子得分，进而对样品做深入的分析和评价。

二、 实验结果与分析

本次研究以四川省成都市周边多所高职院校新生为研究采样对象，对197位新入学的学生借助问卷调查的方法测量了反映数学能力的9个题项，借助spss软件对测量所获数据进行了分析，结果如下：

旋转法 ：具有 Kaiser 标准化的正交旋转法。

a.旋转在 5 次迭代后收敛。

表3为旋转后的载荷矩阵，可以较明确地反映各主因子的含义，可以看出，每个因子只有少数几个变量的载荷较大，因此可以根据上表进行分类。将题目分为4类，第1、3、8题归为一类，第4、7题归为一类，第2、5题归为一类，第6题归为一类。根据题目主要考查的内容对各因素进行命名，因素1可命名为数据处理能力，因素2可命名为逆向思维能力，因素3可命名为数学建模能力，因素4可命名为计算能力。第9题与因素3负相关，从第9题考查内容看，主要侧重与考察受测人的语言理解能力，这说明被测人群数学建模能力与语言理解能力有一定背离，从得分的整体情况看，第9题的得分高而第6题得分较低，说明受测人普遍数学建模能力较差。再看因子得分的情况，从整体看，因子得分都不高，平均接近0分，相对看，按能力由高到低排列依次为数据处理能力、数学计算能力、数学建模能力、逆向思维能力。

从分析结果可以看出，高职高专学生整体数学能力偏低，可见在中学阶段缺乏数学能力的培训，要想在专科阶段把缺口补齐难度很大，只能在一些必要的方面做一点改善，比如强化一下数据处理和数学计算能力，多注重基本技能的培养，少一些扩展与深化。具体到课程设计上，《高等数学》可以只安排一元微积分的基本内容，类似隐函数、中值定理、广义积分这些内容可以删减；《线性代数》可以只安排行列式与线性方程的矩阵解，类似特征方程、线性空间这些内容可以删减，删减的内容以及其他数学课程可以安排兴趣班或选修课，给学有余力的同学选择。也可以考虑利用因子得分情况分班教学，不过这样做会增加学校教学组织上的工作量，可以根据学校教学管理情况做出选择。

参考文献：

[1] 姚慕生.高等代数学[M].上海：复旦大学出版社，1999，5.

[2] 黄志宏，方积乾.数理统计方法[M].北京：人民卫生出版社，1987，10.endprint