数学文化让课堂具有温度

[摘 要] 数学课程标准中明确提出，使学生在义务教育的基础上，逐步认识数学的应用价值和文化价值。处于一线数学教师，肩负着人文价值和应用价值的整合，即让课堂教学具有温度。教师在实际教学中注重研究知识数学思想方法和数学发展历史，使学生掌握具有温度的知识，这样才能让数学课堂具有温度。

[关 键 词] 极坐标系；数学历史；人文价值；温度

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）28-0188-02

江苏省五年制高等职业教育课程标准中明确提出，通过数学课程学习，使学生逐步认识数学的应用价值和文化价值。虽然课程标准要求重视数学文化价值，但教师在教学中还是注重知识技巧的传授，忽视课程标准中提出的人文价值和应用价值的整合，这是课堂教学缺乏温度表现，如何改变现状让数学课堂具有温度，笔者以极坐标系为例谈谈做法。

一、教学内容分析

本堂课内容是江苏省五年制高职《数学5》中第十九章圆锥曲线与极坐标系的第四节极坐标系内容。学生在《数学2》学习直线、圆和前三节学习圆锥曲线时，已对解析几何坐标法有一定理解，特别是在研究抛物线的标准方程时，进一步体会到因建立坐标系不同，而使方程不同，最终研究问题过程的繁简程度也变得不同。由于现实生活中我们遇到问题的复杂性不同，有时在直角坐标系下建立几何图形的方程并不方便，需要建立不同坐标系，以便用代数方法研究几何图形，于是产生了极坐标系等其他坐标系。

本堂课是极坐标系学习的第一课，学生需掌握极坐标系的基本概念，并会进行极坐标与直角坐标互化。本堂课是了解曲线的多种表现形式的基础，因此本堂课的学习在极坐标系中有重要作用。

极坐标是用距离与角度来刻画平面某一点的位置的坐标形式，这是一种新的形式。它与平面直角坐标系既有区别又有联系，因此要通过本堂课的教学，使学生体会极坐标系与直角坐标系的异同，学会点的极坐标与直角坐标的互化。

一方面，研究极坐标系与直角坐标系之间内在联系，容易找到新知识的生长点，温故知新、促进理解。另一方面，两者又有不同，在直角坐标系中，点与直角坐标是一对一的关系；在极坐标系中，由于终边相同的角有无数多个，即点的极角不唯一，因此点与极坐标是一对多的关系。多值性是极坐标与直角坐标的重要区别。在教学中，除了让学生了解点的极坐标的多值性外，还要注意让学生思考如何限定极径与极角的范围，可以使平面内的点（除极点）和极坐标形成一对一的关系。因此，本课教学重点是极坐标系下点与极坐标的对应关系。

对平面内的一个点，既可建立直角坐标来刻画它，也可建立极坐标系刻画它。虽然在不同坐标系下，这些数（坐标）所体现的几何含义不同，但它们之间又有内在联系，因此如何建立这种联系来实现两种坐标的互化，成为下一节课的重点。

基于以上分析，本节课的重点是：经历概念的探索过程，感知概念的形成是源于生活、生产需要；极坐标系的概念、极坐标系下点与极坐标对应关系；点的极坐标与直角坐标的互化。

极坐标这一概念的教学不仅要让学生了解极坐标的来龙去脉，理解极坐标的内涵和外延，还要让学生弄清极坐标与直角坐标之间的区别与联系，在头脑中形成极坐标概念的知识网络，以达到掌握并灵活运用的目标。

二、让课堂具有温度的实践

（一）历史让课堂知识具有温度

教师对所教授知识理解深度是课堂教学的关键，如何能深入理解知识的首要方法是了解知识的发展史，极坐标是由牛顿和雅各布·伯努利分别发明的。牛顿关于坐标系的研究主要记载在《流数法与无穷级数》一书中，此书中最重要的就是各种坐标系的采用，牛顿在《流数法与无穷级数》中引入了9种不同的坐标系，而其中就有我们常见的极坐标系。极坐标是牛顿在求所谓的“机械曲线”（即超越曲线）的切线过程中引进的。同时，极坐标后又为雅各布·伯努利独立引进，1691年雅各布·伯努利对十七世纪通常所用的坐标系作出改变，在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以我们也通常认为他是极坐标的发明者之一，他引入了极坐标的概念。但是由于伯努力的极坐标是通过特殊曲线的应用而为人所知的，并没有一个完整的概念，因此影响不大。1729年，德国数学家赫尔曼明确提出极坐标的概念，1784年欧拉给出极坐标的现代形式，欧拉同时还引进曲线的参数表示。

（二）文化让课堂教学具有温度

数学不仅只是一系列数字符号的堆砌，还包含人文精神内涵，是人类创造活动的结果，是人类思维产物，故数学文化是人类历史上一种高层次的文化。数学文化是人类文化的重要组成部分，其根本特征是一种探索精神。教师在对所教授知识的历史深入研究后，站在数学文化的高度设计教学（教学设计简述）。

复习回顾角的概念推广、终边相同角的公式，回顾直角坐标相关历史知识（略），重点是概念引入简述：

1.创设情景，直观感知

飞蛾一看到自己的天敌蜻蜓、蝙蝠之类的时候会马上逃跑，飞蛾逃跑路线是什么？（展示教师PPT，科学家研究发现，是一种优美曲线，这曲线在自然界中有很多。展示图片，这种曲线叫阿基米德螺旋线，飞蛾遇见天敌会以阿基米德螺旋线的方式飞行，敌人被它绕得头都晕了，自然不容易捉住它，据统计成功逃脱率达70%。）

2.介绍曲线，提出问题

阿基米德螺旋线是在平面内，当一动点P沿动射线OP以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕点O旋转，动点P的轨迹称为阿基米德螺线。（动画演示）

数学家们看到这种螺旋线在自然界中大量存在，就想研究它为我们所用，但发现放入直角坐标系用一对有序实数对（x，y）虽可以确定点P位置，但建立f（x，y）=0方程比较繁琐，不方便研究。数学家们想另辟蹊径研究曲线，即如何另辟确定平面上点P位置的方法？

3.动手操作，感受概念

教师创建实际背景：海上有一艘渔船遇险，指挥塔向搜救船发出指令，在东经112°北纬34°，也就是“你”所在位置东偏北方向60海里处有一艘渔船遇险，快速支援。让学生在事先发的纸上画出遇险船位置，教师观察作图，作出点评。

4.引导思考，同化概念

教师设置一系列问题：通过上述作图大家有什么看法？通过作图你认为平面内确定一个点的位置需要几个量？确定角度的要素有哪些？距离不同人标出的位置不一样，有的离旋转点远，反之有的近，我们如何解决此问题？目的是让学生能自己总结出：在平面内确定一个点位置像直角坐标系一样，只需两个量角度、距离，即构成极坐标系。能总结出建立极坐标系需要的要素，教师让学生阅读课本。

意图：在经历了画图、感知与讨论后，结合具体感知的事实材料和学生通过由此及彼、由表及里的反复提炼、推敲、类比直角坐标系，抽象概括出极坐标系概念的本质，培养了学生抽象概括、类比迁移、数学表述的能力。

5.介绍历史，感悟文化（教师介绍极坐标系发展历史）

6.变式演练，深化概念（略）

三、教学实践思考感悟

笔者定位的本堂课的教学中心是：（1）极坐标系引入必要性；（2）极坐标系的基本思想；（3）极坐标系建立要素；（4）点在极坐标系的坐标规定；（5）极坐标平面内点极坐标与点位置的对应关系；（6）极坐标与直角坐标的异同；（7）极坐标与直角坐标互化。由于高职校第五册一周一次课，对本课我教授9班，实际上课4次，每次课的感悟不同。经过前面三次教学实践，我不停调整，感到最后一次课是比较成功的，我感受到站在数学文化的高度设计并实践的极坐标系课堂具有了温度。首先，贯彻课标总体目标，让数学课具有文化性，淡化的是功利主义的目标，这就是通过课堂教学来逐步影响学生的思维方式和行为，以达到提高其数学素养和文化素质的目的。其次，在上面的教学案例中，教师以极坐标产生的必要性、极坐标系建立的要素及其意义等方面充分展示知识的发展过程，使学生对极坐标系建立不再感到冰冷，而是确确实实感受到知识产生的“温度”，使学生对极坐标系的发生过程脉络清晰、印象深刻，深化了教学效果。最后，对坐标系历史研究，教师掌握了有血有肉有温度的知识，教师站在文化的高度设计具有温度的教学过程，让知识走下“神台”、进入学生生活，拉近学生与知识的距离，让学生感受到有温度的知识，提高了学生学习数学的兴趣，同时增进了学生与教师的亲近感。这样充满温暖的课堂，一方面揭示了极坐标系产生背景和建立原理，让学生深刻体会人类社会发展与数学发展的相互作用，另一方面又让学生充分感受数学的系统性、严密性和应用的广泛性、知识的人文性，使学生得以全方位、多角度、多层面地认识和理解数学，从而形成正确的数学观。这样，课堂教学既有历史文化的厚重，也有现代文明的时代气息。

基于数学文化的教学不仅让数学课堂具有温度，还能培育学生的核心价值观。社会主义核心价值观是当前中国文化的主流要求，各级部门要求将其贯穿到社会的各个领域，当然应该在教育的整个过程中有所体现。用数学史中的代表性人物及其思想不断熏陶学生，这些符合核心价值观的要求。

参考文献：

[1]金益洪，胡艳.《探索勾股定理》的教学设计[J].中学数学杂志（初中），2007（6）：45-48.

[2]吕林海，赵健，童灵瑶.构建一种新型的数学课程文化：兼析以“对称”概念为主题的案例设计与前期进展[J].中学数学教学参考，2004（5）：1-3.

[3]钟向军，周均华.数学文化走进课堂的一次尝试[J].数学教学研究，2008（2）：21-23.

[4]黄加卫.在“拓展型知识”教学中发挥数学文化教育功能：以割圆术教学为例[J].中国数学教育，2010（3）：24-26.

[5]陈清华，徐章韬.既基于历史，又与时俱进：高观点下的“两角和与差的正、余弦公式”教学设计[J].中小学数学，2013（9）：28-31.