浅谈数学教学对学生发散思维的培养

罗文波

摘要：我深切地体会到，在数学教学中，对一些数学命题，应积极引导，启发学生去将命题中条件或结论进行延伸、拓展、知识链叠加。从而使学生去发现探索，在探索过程中，获得新的认知和技能。同时，要以培养学生创新精神和实践能力为重点，在“全面发展”上做文章，在创新学习，开发学生的个体潜能上下工夫，达到培养他们的发散思维能力和解决实际问题的能力，激发创新精神。

关键词：探讨；创新；猜想；标新立异；开放型

“发散思维是指从同一信息源出发，运用已掌握的知识进行放射性联想、思考、分解、组合、引申、推广，使思维朝着各个方向展开，从多渠道寻求问题解答的一种思维形式。”学生在数学学习中，发散思维表现为依据定义、定理、公式和题设条件，思维朝着各种可能的方向扩散前进，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种可能的途径。

随着素质教育的深入发展，课程改革的兴起，全国各类中考试题中开放性探索性命题如雨后春笋般涌现，为在数学教学中发散思维的培养注入了活力，指明了方向。

现代数学论认为，数学教学活动的核心是“创新学习”，培养学生“主动探索与研究精神”以及解决实际问题的能力扣创新能力。据现代心理学家的见解，学生在数学学习的过程中，探究精神、创新能力的大小和他们的发散思维能力成正比例。可用如下公式估算：创新能力=磨合的知识总量×发散思维能力。因此，数学教师在教学过程中，加强发散思维能力的训练，是培养学生创造思维的重要环节。本文就如何培养学生发散思维能力浅谈一点体会。

一、 训练学生对同一条件，联想到多种结论的发散思维能力

例1如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点，（1）求证：AF⊥CD；（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请最少写出四个（不要求证明）。

分析：本题是一道充分揭示思维的广度和深度的开放性习题。特别是第（2）问，展现给学生的是已知条件确定后，没有固定的结论，而是让学生自己尽可能多地去确定未知结论。使各种不同层次的学生都得到了有效的尝试，符合“让每一位学生都得到发展”的课改精神。学生的结论各异，反映了学生思维水平的不同。这里结合学生给出的答案列出七个结论：

①BE∥CD；②AF⊥BE且平分BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCD=∠EDC；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形；⑥AF平分∠BAE；⑦S四边形ABCF=S四边形AEDF。

二、 训练学生对同一结论，联想到多种条件的发散思维能力

例2点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有多少条？

分析：该题是将相似三角形的几个判定方法磨合成一道动静相宜的创新习题。展示给学生的是：问题的结论已经确定，要让学生尽可能去变化已知条件，进而从不同的角度，用不同的知识来解答问题。这样既可以充分揭示数学问题的层次，又可以充分暴露学生自身的发散思维的层次，激活他们思维的敏捷性和灵活性。综合学生的答案得：满足这样条件的直线最多有四条。

①如图1，过点P作直线PD∥BC；

②如图1，过点P作直线PE∥AC；

已知①、②应用相似三角形的判定定理3证明△APD∽△ABC；△BPE∽△BAC；

③如图2，经过P点作直线PE，使∠AEP=∠B；

④如图2，经过P点作直线PF，使∠BFP=∠A。

已知③、④应用相似三角形的判定定理1、2证明△AEP∽△ABC，△BPF∽△BCA。

图1

图2

三、 训练学生对图形的发散思维能力

例3已知：如图（1），点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AN=BM。

图（1）

说明及要求：

图（2）

（1） 将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°，使A点落在CB上。请对照原题在图（2）中画出符合要求的图形；（不写作法，保留作图痕迹）

（2） 在（1）所得到的图形中，结论“AN=BM”是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3） 在（1）所得到的图形中，若MA的延长线与BN相交于D点，试判断△ABD与四边形MDNC的形状，并证明你的结论。

分析：该题将图形中某些元素的位置关系进行了变化，从而产生了一系列新的图形。学生从中不仅了解了几何图形的演变过程，还可以举一反三，触类旁通。同时学生还通过图形的演变过程了解它们之间的内在联系和区别，探究出特殊与一般之间的关系。这样培养，学生认为“像是自己出题自己去解答，有一种轻松感”。连基础较差的学生，也能试一试。（解答略）

四、 一题多解，培养学生创新发散思维能力

例4已知：如圖，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于D，DE⊥AB于点E。求证：∠EDB=∠CDB。

分析：本题引导学生进行一题多解，不仅可以开阔学生的眼界，加深知识的纵横联系；还可以由浅入深，由此及彼探寻解题途径，培养学生综合运用知识的能力。更重要的是引导了学生对不同的解法进行比较，找出最简便的解法。使学生的探求精神，发散思维能力向更高境界发展。

证法一：如图，连接AD，则AD⊥DB，又由CD是切线，有∠BDC=∠A，在Rt△ADB中，∵DE⊥AB，∴∠EDB=∠A=∠BDC；

证法二：如图，连接OD，则∠ODB=∠OBD。∵CD是切线，∴∠CDB+∠ODB=∠EDB+∠OBD=90°，于是：∠EDB=∠CDB；

证法三：如图，延长DE交⊙O于F，连接FB，∵DE⊥AB，AB是直径，∴EF=DE，则△DFB是等腰三角形，∴∠EDB=∠F，∴CD是切线，∴∠BDC=∠F=∠EDB；

证法四：如图，作BG⊥AB交CD于G，则BG是⊙O的切线，∵DE⊥AB，

∴BG∥DE，即∠EDB=∠DBG，∵BG=DG，∴∠BDC=∠DBG=∠EDB：

证法五：如图，作BM⊥CD于M，∵CD是切线，∴OD⊥CD，则BM∥OD，即∠DBM=∠ODB=∠OBD，∵DB=DB，∠DEB=90°=∠DMB，∴△DBE≌△DBM，∴∠EDB=∠BDC。

五、 培养学生引申或推广命题的发散思维能力

一个命题，如果仅仅孤立的去解决它，那么解决得再好，充其量只不过是解决一个问题；如果能对它深入分析研究，加以拓广，从而得到新的结论，那么就可解决一类问题，达到举一反三的目的。

还是以例3为例，将题设延伸，结论叠加展现在学生面前的不是单纯知识的重复，而是立意新颖，知识链加长，充满活力的一道道习题。

若AC=2，CB=3。（1）试判定△GCE的形状；（2）证明GE∥AB；（3）求∠AOB的度数；（4）证明∠CAN=∠CMB；（5）证明AG·BF=NE·ME；（6）求△MCE与△BNE的面积的比值。

综上所述，我深切地体会到：在数学教学中，对一些数学命题，应积极引导、启发学生去将命题中的条件或结论进行延伸、拓展、知识链叠加，从而，使学生去发现、探索，在探索过程中，获得新的认知和技能。同时，要以培养学生创新精神和实践能力为重点，在“全面发展”上做文章，在创新学习、开发学生的个体潜能上下工夫，达到培养他们的发散思维能力和解决实际问题的能力，激发创新精神。endprint