矩阵特征根特征向量的求解方法及应用的研究

时文平

摘要：本文主要介绍了求解特征根与特征向量的两种相关方法：列行互逆变换法和QR法。通过对n阶矩阵的特征根与特征向量的进一步研究，探讨出了矩阵特征根与特征向量在众多领域都有广泛的应用。

关键词：矩阵；特征根；特征向量；特征多项式

一、 矩阵特征根与特征向量的求解方法

1. 列行互逆变换法

列行互逆变换的三种变换方式：

（1） 互相交换两列的位置cicj，同时互相交换j，i两行（rirj）；

（2） 第i列乘以不是零的数k，同时第i行乘以1k；

（3） 第i列的k倍加到第j列（cj+kci），同时第j行（-k）倍加到第i行（ri-krj）

列行互逆法求特征根特征向量的基本方法是：把矩阵A和单位矩阵E同时做初等列变换，再对A做相应的行变换，通过一系列这样成对的变换方法，当矩阵A变换为对角矩阵时，对角线上的元素就是矩阵A的特征根，而单位矩阵E变换后的矩阵的列向量就是矩阵A的特征向量。

2. QR法求特征根与特征向量

QR算法也是一种迭代算法，这种方法的基础是构造矩阵序列{Ak}，并且对矩阵序列进行QR分解。由代数学的相关知识可以得到：

（1） 如果矩阵A是非奇异矩阵，那么矩阵A就可以分解成正交矩阵Q与上三角形矩阵R相乘，即A=QR，而且当矩阵R的对角线元素符号已经固定时，分解式也是固定的。

（2） 如果矩阵A为奇异的矩阵，那么0是A的特征根，随便取一个数P，且P不是矩阵A的特征根，那么A-PI就是非奇异的方阵，只要我们求出A-PI的特征根，就会求出A的特征根，所以通常我们假设矩阵A为非奇异的方阵，这种假设不妨碍它讨论的一般性。

设矩阵A是非奇异的方阵，令A1=A，对A1进行QR分解，就是把A1分解成为正交矩阵Q1与上三角形矩阵R1的乘积A1=Q1R1，令矩阵A2=R1Q1=QT1A1Q1，继续再对A2进行QR分解A2=Q2R2，并且定义A3=R2Q2=QT2A2Q2，一般来说，递推公式为：A1=A=Q1R1，Ak-1=RkQk=QTkAkQk，k=1，2，…

QR算法就是通过利用矩阵的QR分解，依据上述的递推公式来构造序列{Ak}，只要矩阵A是非奇异的方阵，那么由QR算法就可以完全得到{Ak}。

二、 矩阵特征根与特征向量的应用

1. 特征根与特征向量在n阶矩阵的高次幂的求解中的应用

当n阶矩阵A可以对角化时，即矩阵A可与对角阵相似时，可以应用矩阵的特征根与特征向量计算它的高次幂Ak（k∈N），而且相对来说比较简单，当n阶矩阵A符合以下四个条件之一时，那么矩阵A就可以对角化，即A=PDP-1

（1） n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量。

（2） n阶矩阵A有n个互不相等的特征根。

（3） n阶矩阵A的每一个特征根的几何重数都和它的代数重数相等。

A为对称矩阵，对于A=PDP-1，P=（ξ1，ξ2，……ξn），D=diag（λ1，λ2.....λn）

其中λ1，λ2，……λn是矩阵A的n个互不相等的特征根，ξi是矩阵A中特征根λi的特征向量（i=1，2，……，n）。

2. 生产系统的设计问题

矩阵的特征根特征向量在二次曲面问题上的应用十分的广泛，比如说，我们可以用长期摄动方法来解决天体力学的问题，其中求近日点或轨道面升交点的运动平均角速度，解长期方程也可以归纳为矩阵特征根的问题，后来我们不断地发现很多领域对矩阵特征根和特征向量的需要，特别是社会科学领域对矩阵的特征根和特征向量的需要，它不断地为矩阵特征根特征向量问题的研究注入新的动力，下面我们举出一个在科学管理应用中的例子：生产系统的设计问题。

要设计一个系统，这个系统是由n个完成工作的单位元组成的，并且其中的每个单元都有m种不同的操作，我们现在设第j个单元进行的第i个操作数量记为mji，操作所用的时间记为tji，单位时间所需费用为cji，由此我们可以得到单位操作所用费用为：eji=cjitjimji，此时我们称矩阵E=ejim×n是系统的效率矩阵。我们另设第j个单元的费用为Pj（j=1，2，……m），且系统进行第i个操作的数量为vi（i=1，2，……，n），则系统完成工作所需要的费用为P=Ev，我们称P和v分别是这个系統的费用向量与容量向量，现在我们的问题主要在于怎样确定任务的数量比例，也就是说怎样确定v的各个分量，从而使系统所需要的费用最大或者最小，因此我们考虑v的R商：R（v）=（Ev）T（Ev）vTv=vT（ETE）vvTv

所以我们可以知道它的对称矩阵ETE的特征根就是它的最大值或最小值，而特征根λ所对应的特征向量是v。

三、 结论

通过掌握矩阵特征根以及特征向量的两种求解方法，矩阵的特征根和特征向量理论的应用是十分广泛的，可以应用到代数学求解复杂数学问题的领域中，也可以应用到经济等生活问题中，因此我们要把矩阵的相关知识运用到数学的各个方面。

参考文献：

[1]王萼芳.高等代数教程（上）[M].清华大学出版社，2009.

[2]杨延峻.矩阵特征值与特征向量的同步求解法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2006，3：2-3.