运用整体思想解题 培养创新思维能力

陈利明

(江苏省扬州市广陵区头桥中学 225000)

运用整体思想解题培养创新思维能力

陈利明

(江苏省扬州市广陵区头桥中学 225000)

“整体思想”是一种重要的数学解题思想方法，“整体思想”就是在解题过程中不执着于局部的处理，不拘泥于常规的方法，而根据数学题目自身的特殊性，从整体的角度出发进行处理.即把题目中的某一部分看成一个整体，而不进行单独求解，在求条件代数式的值时，一般从已知式中不能确定代数式中字母的值，或虽能确定，但计算繁杂，这时若采用整体思想代换求值，常能使问题迅速获解.这种从整体处理的思维方法，不仅解题方法别致新颖、思路清晰，而且能达到迅速、准确的解题目的.有利于开阔学生的视野，提高能力、发展智力、增强素质.

整体代换；代数式；二次三项式；中间结果；扇形面积；无理数；圆环面积

下面用几个实例说明整体思想在教学实践中的应用.

例1 ①已知x3+x2+x+1=0，那么1+x+x2+x3+x4+…+x1995=____;②已知a2-a+1=0,求a3-2a+1的值.③已知x2+x-1=0,求x3+2x2+1997的值.

解①原式=(1+x+x2+x3)+x4(x+x+x2+x3)+x8(1+x+x2+x3)+…+x1992(1+x+x2+x3)=(1+x+x2+x3)(1+x4+x8+x12+…+x1992).

∵1+x+x2+x3=0,∴原式=0.

②原式=a3-a2-a+a2-a-1+2=a(a2-a-1)+(a2-a-1)+2.∵a2-a-1=0,∴原式=a×0+0+2=2.

③由x2+x-1=0,得x2+x=1.

原式=x3+x2+x2+x-x+1997=x(x2+x-1)+(x2+x)+1997=x×0+1+1997=1998.

说明：如果从已知式中得出字母的值，再直接代入计算过程相当繁琐.将已知的代数式的值，整体代入待求的代数式中求值，可以大大减少运算的工作量，化繁为易.

②解法2

由题意知：x2+1=4x,

说明若已知条件式是二次三项式，可以根据待求式的特征，进行恰当的变形，然后利用整体代入以达到简化的目的.

例3 已知-2x+y=5,求20x2-20xy+5y2-6x+3y+1870的值.

分析用整体思维处理问题，就是从大处着眼，不局限于细微枝节，有时可把已知条件或解题过程中所得的中间结果作为一个整体，代入所求的式子中，使问题能快捷解决.

将2x-y视为一个整体，直接代入原式方便而快速求解.

解由-2x+y=5,得2x-y=-5,

原式=5(2x-y)2-3(2x-y)+1870

=5×(-5)2-3×(-5)+1870

=2010.

例4 当x=-3时，代数式ax5+bx3+cx-8=6，求当x=3时ax5+bx3+cx-8的值.

分析因无法分别求出a、b、c的值，可把ax5+bx3+cx看作一个“整体”，先求其值.

解当x=-3时，由已知可得35a+33b+3c=-14,故当x=3时，ax5+bx3+cx-8=35a+33b+3c-8=-14-8=-22.

分析把5x-4看成一个整数，即可消去x.

解把②代入①，得4y=3+3y，即y=3.

把y=3代入②得5x-4=6,即x=2.

代换思想是解题中常用的策略，对于一般的代换思想同学们并不陌生，这里给出一些非常规的整体求解，整体代换的实例.

例6 已知x+y+z=3,求证：(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2[(x-1)(1-y)+(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

分析本题若从常规方法考虑，无疑是很繁琐的，通过观察发现：求证的式子有点像(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

再观察条件x+y+z=3,可变为x-1+y-1+z-1=0，于是可采用整体求解，整体代换的思想.

证∵x+y+z=3,∴(x-1)+(y-1)+(z-1)=0,∴[(x-1)+(y-1)+(z-1)]2=0,∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+2(x-1)(y-1)+2(x-1)(z-1)+2(y-1)(z-1)=0,∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2[(x-1)(1-y)+(y-1)(1-z)+(z-1)(1-x)].

在解决一些数学题时，有些问题如果说分开来看，似乎很不好处理，找不到解决问题的关键，但作为一个整体来处理，就变得容易一些.

例7 已知：x2-x-1=0,求-x3+2x2+2009的值.

分析由x2-x-1=0知x是无理数，所以求出x代入所求的代数式计算很繁.考虑用整体处理的思想方法.

∵x≠0，∴x3-x2-x=0.

∴-x3+2x2+2009=-(x3-2x2)+2009=-(x3-x2-x-x2+x)+2009=-(-x2+x)+2009=2010.

例8 若α、β是关于x的方程x2-2008x+2010=0的两个根，求(α2-2009α+2010)(β2-2009β+2010)的值.

分析由已知有α2-2009α+2010=-α,β2-2009β+2010=-β.所以(α2-2009α+2010)(β2-2009β+2010)=αβ=2010.

本题将α2-2009α+2010和β2-2010β+2010都作为一个整体代入运算，很方便求得结果.

例9 一个同心圆，圆心为O，小圆的切线被大圆截得的线段AB长为6，则两圆构成的圆环面积是多少？

分析题中大圆半径R、小圆半径r无法求出，但只要知道R2-r2这一整体即可.

例10 如图2，分别以△ABC的三个顶点A、B、C为圆心作圆，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且它们的半径都是1，则图中三个扇形(即三个阴影部分)面积之和是多少？

分析△ABC是任意的，所以每一个扇形的面积无法求出，故用整体法来求.

[1]黄东坡.数学培优新方法[M].武汉：湖北人民出版社，2015.

2017-07-01

陈利明(1975.06-)，男，扬州市广陵区头桥中学，本科.

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1008-0333(2017)32-0013-02

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