离散作战模型的连续化兰切斯特模型研究*

严建钢，孙守福，沙基昌

（1.海军航空大学，山东 烟台 264001；2.国防科技大学信息系统与管理学院，长沙 410073）

离散作战模型的连续化兰切斯特模型研究*

严建钢1，孙守福1，沙基昌2

（1.海军航空大学，山东 烟台 264001；2.国防科技大学信息系统与管理学院，长沙 410073）

通过兰切斯特方程的分析，定义了作战力量变换系数概念，推导出作战力量变换系数的兰切斯特方程，得到了衡量交战双方作战力量等效值，而作战力量变换系数的兰切斯特方程正是适用于离散型作战的兰切斯特作战模型，使具有深刻影响力的兰切斯特方程适用范围扩大到了交战双方离散数量型的作战领域，从而赋予兰切斯特方程新的生命，为复杂的格斗作战分析提供了新的工具。

作战力量等效，离散型作战模型，连续型作战模型，兰切斯特方程

0 引言

20世纪初英国航空工程师Lanchester提出了著名的关于空战格斗的尝试性数学模型，后来被人们称之为兰切斯特方程［1］。兰切斯特方程作为定量研究作战过程的经典方法，自从二战以来有了迅速的发展，主要在有增援的情况、信息系统参与、变系数条件、士气对作战的影响以及复杂电磁环境等因素下，对传统的兰切斯特方程作了大量的改进，适当地扩大了它的应用外延［2-7］，但由于兰切斯特方程在推导的过程中作了相应的假设，限制了它在作战中的使用范围，目前的研究集中在两种方法上：一是建立随机型兰切斯特方程［8］；二是采用离散的随机格斗理论［9］。两种方法形式不同，原理却是一样的，都是依据马尔科夫链随机过程理论得到的。这对在作战理论与作战实践中研究一些问题带来了诸多的不便。一是计算的复杂，二是很难推导出带有普遍规律性的结论，这一点是至关重要的。所以有必要在离散型作战研究领域，建立诸如兰切斯特方程那样的确定连续型作战模型，延续与扩大经典的兰切斯特方程适用范围，简化离散型作战模型研究的分析方法。

1 作战力量变换系数

连续型与离散型模型的区别在于交战双方参战单位x、y的数量与质量，如在小规模作战中通过某种代换，将单纯反映数量关系不连续的x、y替换成能够看成连续的反映数量与质量关系的变量X、Y，这时就可以利用连续函数的数学工具，诸如微积分等建立作战模型，研究作战规律，指导作战实践。

且X、Y为连续可微的能够反映交战双方作战单位数量与质量的标量，则称向量uT、vT为交战双方各作战单位的相对作战力量变换系数向量，X、Y称为交战双方总的作战力量的等效值。

通过定义可以得知，不管交战双方参战单位x、y的多或少，通过uT、vT的适当取值，X、Y总是能够达到可以看作连续量的一个标量的，uT、vT也就相当于一个放大器，且将双方单个作战单位的作战效能融为一体，那么，连续性兰切斯特方程就可以利用，下面关键是利用连续型的兰切斯特方程，求出符合定义的交战双方的作战力量变换系数向量。

2 等效的兰切斯特方程

设x、y为离散的兵力投入向量：

交战双方杀伤对方的威力系数为A与B矩阵：

A与B反映了交战双方各作战单位杀伤对方某个作战单位的毁伤强度，它的量纲是单位时间、单位作战单位消灭对方作战单位的数量。

双方的火力分配策略使用Φ与Ψ矩阵表示：

则X、Y满足微分方程

证明：根据毁伤率方程，可以直接写出x、y的增量方程：

即：

因为X、Y 连续可微，令 Δt→0，对式（7）取极限

证毕。

根据文献［11］中的兰切斯特平方律（3.7）这时的X、Y反映了交战双方总体的作战能力，不仅体现了作战的硬实力，还将作战的软实力（例如战术运用、火力运用等）融入其中，对于分析交战双方整体的作战能力带来了许多方便，可以从宏观上把握双方的作战实力，预测战斗的发展趋势，还可以指导战术运用，使作战中的武器与人的能力得到充分发挥。因此，可以得到以下定理。

定理3 对于多对多作战单位，通常矩阵HG与矩阵GH有相同的正特征值（＞0），与此相应的HG与矩阵GH的左特征向量uT与vT正好是甲、乙双方各类作战单位的相对作战力量变换系数向量，且它们满足

而X=uTx，Y=vTy就是双方总的作战力量等效值，且满足式（3），则

式（9）称为离散作战模型的等效兰切斯特方程。

通过以上3个定理，得到了一个将交战双方投入兵力由向量转变为一个标量形式的类似于兰切斯特方程的兵力损失率的模型，这样双方兵力中各作战单位的作用就淹没在整体作战实力中，从而解决了传统兰切斯特方程的第1个假设问题。第2个假设可以通过式（4）中uT与vT的合理取值（根据要求的精度等）加以解决，实际式（4）就相当于一个兵力的放大器，通过它可以将兵力的实际数值由放大的作战力量变换系数替换，这种替换不可能造成人为的误差，因为交战双方是相对比较的，作战力量的对比不可能发生变化，自然作战过程与结果也不会改变。

3 模型分析

等效的兰切斯特模型式（9），使具有深刻影响力的兰切斯特方程适用范围扩大到了交战双方离散数量型的作战领域，从而赋予兰切斯特方程新的生命，为复杂的格斗作战分析提供了新的工具。从对等效兰切斯特方程式（9）的进一步分析，可以得出4点重要启示。

第2，利用作战力量等效值的方法判断战斗的胜负是有意义的，战斗开始时，总作战力量等效值大的一方容易获胜，且双方初始实力越悬殊，胜负也越悬殊。

这里从兰切斯特平方率［13］

得到式（9）的双方打成平局的条件

根据兰切斯特平方率，当总作战力量等效值的初值大的一方容易获胜，相反，则反之。亦可以用式（9）作为兵力的投入、战斗胜负预测与作战持续时间等一系列作战问题决策的依据。

第3，将X、Y看作连续可微的条件从对抗的角度进行分析，即交战双方X、Y中每一作战单元的杀伤作用与各自整体作战体系的杀伤作用相比不起决定性作用，要求X、Y的取值必须满足这个条件。在实际的运用中它是通过式（1）的计算得到，根据研究问题的精度要求，通过选取合适的相对作战力量变换系数向量uT、vT，总能够使X、Y近似为连续可微的变量。例如交战双方原始投入的作战单位x、y均为3个，通过选取合适的uT、vT，使交战双方总的作战力量的等效值X、Y扩大10倍，那么，相对于原始投入的兵力看作连续可微所造成的误差就相对减小了，如果X、Y扩大100倍，相对于原始投入的兵力看作连续可微所造成的误差就更加小了，还可继续下去。所以，运用式（9）的离散作战模型的等效兰切斯特方程解决相关的问题是能够保证一定精度的。

第四，因为在计算特征向量uT与vT时，需要用到矩阵（HG）与矩阵（GH），而且 G=B*Ψ，H=A*Φ，含有交战双方的兵力运用（或火力运用）策略矩阵。所以，兵力运用（或火力运用）策略对于双方作战力量变换系数的估计以及战斗的胜负均有影响，这充分说明了广义的作战力量应该包括两个部分：一是交战双方的所谓“硬”力量，即G=B*Ψ，H=A*Φ中的B，A；二是交战双方的所谓“软”能力，即G=B*Ψ与H=A*Φ的Ψ，Φ。在信息化体系作战的情况下，“软”能力的作用正在日益凸显。在双方“硬”力量相差不大时，兵力运用（或火力运用）策略的失误可能丧失可获得的胜利，如何制定合理的或最优的兵力运用（或火力运用）策略，这是一个至关重要的问题（由于篇幅与主题所限，在这里不作具体阐述）。

［1］LANCHESTER F W.Aircraft in warfare：the dawn of the fourth arm［M］.Constable&Co，1916.Lanchester Press，1995.

［2］巨金川.兰切斯特方程的推广及其作战应用［J］.电光与控制，2009，16（10）：22-24.

［3］乔林峰，胡浩然，王俊.兰切斯特方程的参数取值与计算［J］.舰船电子工程，2011，31（8）：49-51.

［4］贺毅辉.作战模拟基础［M］.北京：国防工业出版社，2012：125-128.

［5］屈洋，阎应军.军事运筹学［M］.北京：军事科学出版社，2003.

［6］刘浩金，陈立新.炮兵武器系统效能分析［M］.合肥：合肥炮兵学院，1996.

［7］邵国培，曹志耀，何俊.电子对抗作战效能分析［M］.北京：解放军出版社，1998.

［8］ALAN W，MOSHE K著，郭齐胜，曹晓东，等译.战斗建模［M］.北京：国防工业出版社，2012.

［9］冯传治，任耀峰.随机格斗模型仿真研究［J］.兵工自动化，2009，28（2）：93-94.

［10］严建钢.航空兵数理战术分析［M］.北京：解放军出版社，2006.

［11］沙基昌.数理战术学［M］.北京：科学出版社，2003.

［12］郭润喜，王晓春.线性代数［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

［13］贾连兴.系统仿真与作战模拟［M］.北京：通信指挥学院出版社，2008.

Research on Continuous Lanchester Model of Discrete Operation Model

YAN Jian-gang1，SUN Shou-fu1，SHA Ji-chang2
（1.Naval Aeronautical and Astronautical University，Yantai 264001，China；2.School of Information System and Management，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

On the basis of analysis of lanchester equation,the operation power transformation coefficient conception is defined and the operation power transformation coefficient lanchester equation is derived to get the equivalent value measuring the power of two warring sides.The operation power transformation coefficient lanchester equation is well applied to the discrete lanchester operation model.The application range of lanchester equation is widened to the discrete operation power area,which gave new life to lanchester equation and provided a new tool for analysis of complicated fighting operation.

operation power eauivalent，discrete operation model，continuous operation model，lanchester model

TP63

A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.11.15

1002-0640（2017）11-0065-03

2016-09-19

2016-11-19

国家社会科学军事学基金资助项目（11GJ003-074）

严建钢（1958- ），男，山西太原人，教授，博士，博士生导师。研究方向：作战模型及模拟、作战运筹分析等。