从计算肺循环的血流量联想到定积分的思想

曹寒问

摘 要：在数学和物理中，经常会遇到计算平面曲线围成的平面“曲边梯形”面积、变速直线运动物理位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？这就需要用到定积分的思想，即“分割-近似求和-取极限”。这种思想在其他知识领域和生产实践活动中也具有普遍的意义，它为我们研究问题提供了一种思维模式。在计算肺循环的血流量过程中，同样用到了定积分的思想。

关键词：血流量 指示剂稀释法 定积分

中图分类号：O155 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2017）11-0-01

人体左心室或右心室每分钟射入主动脉或肺动脉的血量称为心输出量，一个人休息时每分钟心输出量为5升或6升，在激烈运动的时候每分钟可能高达30升，它也有可能由于疾病变化显著。

迄今对人体心输出量的测定尚无精确而简便的理想方法。目前主要采用以下两种方法：

一、費克氏法，即测定单位时间内经过肺循环的血流量

弗克氏法的原理是：当某种指示物在某一定部位（例如，肺部）进入血循环时，其进入速率等于该物质在进入两侧（例如，肺动脉和肺静脉内） 的浓度差（C2S-C1S）乘以流量（F）。一定时间内的流量 （F）等于同时间内该物质的进入量除以进入点两侧该物质的浓度差。应用费克氏原理以测定心输出量时，曾发现经过肺进入血循环的氧几乎是理想的指示物质，因为肺部摄氧速率以及肺部两侧血氧浓度都容易测定。例如测得被试者每分钟吸入氧量为250毫升，如果该时间内其每毫升动脉血含氧量为0.20毫升，每毫升静脉血含氧量为0.15毫升，则每分钟流过肺循环的血量即每分心输出量为250/（0.2-0.15）=5000毫升。虽为心输出量测定的标准方法，但采取混合静脉血时需用心导管插入右心室或肺动脉，操作不便而且对于技术不熟练者带有一定危险性，从而限制其广泛采用。

二、指示剂稀释法

此法系选用一定量（假定为m毫克）无害，不易透出毛细血管并易于定量的物质，例如，某些染料或放射性同位素等，将其迅速注入大动脉中，经不同时间后从外周动脉采取血液样品，以测定该物质在动脉血中浓度的变化。当注入染料经一定时间后，动脉血内由于染料的再循环，动脉血内染料浓度回升，然后逐渐降下而达零点。可用曲线下降坡度外推法或用半对数坐标绘图法而得到零点浓度的时间。

此法较易操作，无需插心导管，也无需测定氧耗量。故在人体上用指示剂稀释法测定心输出量，逐渐代替了费克氏法，特别对婴儿、心脏病患者更为广泛应用。将5.6毫克染料注入休息中病人心脏旁边的静脉，浓度数据如表1所示，求该病人的心输出量？

根据表1中数据描出光滑曲线如图1，时间由注入时刻t=0开始。染料浓度一开始是零，然后通过肺部以后逐渐增加，在t=9时达到最大值，接着逐渐减少，在t=31时减少为零。

已知染料是5.6克，接下来需要知道浓度曲线下面的面积。对于不规则区域的曲边梯形面积，目前还不知道用什么公式去计算。假设用矩形区域做近似，如图2，每一个矩形省略了一部分曲线下面的面积，但是又包含了一部分曲线上面的面积作为补偿。

误差大的原因主要是曲边梯形的曲边两端点相隔比较远，它所对应的函数值相差比较大。如果曲边梯形比较窄，两底离得比较近，函数变化不大，曲边和直边差不多，误差就变小了。那如何把宽的曲边梯形变窄呢？这就用到定积分概念里的分割步骤。

当我们把曲边梯形分割成多个窄的曲边梯形，然后用窄的矩形面积代替窄的曲边梯形面积，用阶梯型的矩形面积之和代替整个曲边梯形面积，误差就会比原来小。这就是定积分概念里近似求和的步骤。

进一步深入思考，分割的窄曲边梯形越多，用阶梯型矩形面积代替曲边梯形面积的误差就越小。如果无限分割，阶梯型的矩形个数趋于无穷，阶梯型的矩形形状也就趋于曲边梯形。即阶梯型的矩形极限就成了曲边梯形。这就是定积分概念里求极限的步骤。

高中课本里从曲边梯形的面积，变力做功两个实例中抽象出定积分的定义，处理的步骤都是“分割-近似求和-求极限”。原来生活中有很多类似的问题，可以用定积分的思想来解决。

参考文献

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