相似蛋糕价几何

杭子雯

暑假来临，学校为了培养学生健康文明的学习生活习惯，要求学生走进社区、了解社会，过一个幸福安全、愉快充實、有意义的暑假.我的阿姨正好新开了一家蛋糕店，我决定做阿姨的好帮手.

阿姨的蛋糕店计划7月8日开张，为了树立品牌，提高影响和效益，阿姨想在《东台报》上刊登广告宣传，到报社咨询后获知：广告的价格是按广告的面积来算的，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元.考虑到广告版面越大，吸引力越强，效果越好，但广告费也随之攀升，阿姨决定把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，阿姨该付多少的广告费？

我略加思索，告诉阿姨：根据要求，把广告版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告版面，与原来的广告版面是相似的，它们的面积比应该是相似比的平方.由此可知，把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费应该为原来的9倍：180×9=1620（元）.

当然，我还可以根据“一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元”，先算出每平方厘米的广告费：180÷50=[185]（元），再根据该版面的边长都扩大为原来的3倍后的长方形版面面积：30×15=450（cm2），由此算出把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：450×[185]=1620（元）.

广告在《东台报》上刊登后生意越来越好，一天，来了一位顾客，要买一个三层的蛋糕，祝福朋友三十岁生日快乐，要求：第一层（最上面的一层）是8吋的圆柱形蛋糕（要求高4吋）；第二层是12吋的圆柱形蛋糕（要求高6吋）；第三层是16吋的圆柱形蛋糕（要求高8吋）.阿姨告诉我，第一层8吋的圆柱形蛋糕（高4吋），它的价格是24元，问这个三层蛋糕需要多少钱？阿姨负责制作，价钱照例由我计算.

我回想到老师说过：对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方.相似图形的本质是形状相同，既然三层蛋糕半径和高成比例，且非常相似，我们不妨把它们叫作相似蛋糕.

类比相似图形的性质，我猜想相似蛋糕的性质应该是：相似蛋糕体积比等于相似比的立方.是否正确呢？

我们特殊化验证这条性质：如图，甲、乙是两个不同的立方体，它们的形状完全相同，我们可把它们叫作相似体.

它们的对应线段之比等于相似比[ab].

设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则[S甲S乙]=[6a26b2]=（[ab]）2，

设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则[V甲V乙]=[a3b3]=（[ab]）3.

类似地，我们可以验证相似圆柱体的性质，进而推广到一般的相似体的性质：相似体的一切对应线段长度的比等于相似比；相似体表面积的比等于相似比的平方；相似体体积的比等于相似比的立方.

因此三层的相似蛋糕的价格应该这样算：把三层的相似蛋糕看作相似体.由“相似体体积的比等于相似比的立方”， [V第二层V第一层]=（[32]）3=[278]，[V第三层V第一层]=（[21]）3=8，即第二层蛋糕的体积是第一层蛋糕的体积的[278]倍，第三层蛋糕的体积是第一层蛋糕的体积的8倍.所以从价格上考虑，第二层蛋糕的价格是第一层蛋糕的价格的[278]倍，即[278]×24=81元；第三层蛋糕的价格是第一层蛋糕的价格的8倍，即8×24=192元；三层蛋糕合计价格为：24+81+192=297（元）.endprint