生活中的二次函数

随着人类文明不断进步，数学生活化、生活数学化越来越明显，现代数学以技术化的方式迅速影响到人们日常生活的各个领域，生活中也越来越需要数学，数学遍布人们的衣、食、住、行等各方面.下面我们就一起来领略生活中的二次函数.

一、二次函数与利润

利用二次函数的性质可以帮助我们解决生活中的最大利润问题，这种问题也是中考中常见的热点题型.

例1 某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间的函数关系为t=-3x+204.

（1）写出商场每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系.

（2）商场要想每天获得最大销售毛利润，每件的销售价应定为多少元？最大销售毛利润为多少？

【解答】（1）由题意，销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为：y=（x-42）（-3x+204），即y=-3x2+330x-8568.

（2）配方得y=-3（x-55）2+507.故当每件的销售价为55元时，可取得最大销售毛利润，每天最大销售毛利润为507元.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常根据销售利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，从而得最大值（或最小值）.

例2 某宾馆有100张床位，每床每晚收费100元，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高20元，则减少10张床位租出；以每次提高20元这种方法变化下去，为了投资少且获利多，每床每晚应提高多少元？

【解答】设每床每晚收费应提高x个20元，获得利润为y元，y=（100+20x）（100-10x）=

-200（x-[52]）2+11250，∵x取整数，∴当x=2或3时，y最大，当x=3时，每床收费提高60元，床位最少，即投资少，∴为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高60元.

【点评】此题要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=[-b2a]时取得.

例3 某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5万元时，可获利润2万元.

信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元.

（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；

（2）如果企业同时对A，B两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？

【解答】（1）当x=5时，yA=2，则2=5k，

解得k=0.4，∴yA=0.4x；

当x=2时，yB=2.4；当x=4时，yB=3.2，

[2.4=4a+2b，3.2=16a+4b，]解得[a=-0.2，b=1.6.]

∴yB=-0.2x2+1.6x.

（2）設投资B种商品x万元，则投资A种商品（10-x）万元，获得利润W万元，

根据题意可得：

W=0.4（10-x）+（-0.2x2+1.6x），

∴W=-0.2（x-3）2+5.8，

所以投资A种商品7万元，B种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元.

【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，属于双函数的问题.第（2）问中要注意当设投资B种商品为x万元时，yA=0.4x中的自变量为10-x；为防止混淆，也可以换个字母，如可设投资B种商品m万元.

二、二次函数与旅游

“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，如今随着人们生活水平的提高，各景点要接待的游客也逐渐增加.

例4 某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.

【解答】

（1）y=[120x 0

（2）由（1）可知当0

【点评】本题考查二次函数的应用、分段函数等知识.问题（1）需要分0

三、二次函数与运动

运动过程中，人、球或其他物体在某一段过程形成的轨迹可看成抛物线.

例5 甲、乙两人羽毛球比赛，甲发出一个十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=[-112]s2+[23]s+[32].如图，已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为[94]m，设乙的起跳点C的横坐标为a，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败.（1）求羽毛球出手时的高度；（2）求a的取值范围.

【解答】（1）令解析式中s=0时，h=[32]，则羽毛球的出手点高度为1.5m.

（2）令解析式中h=2.25，得a=4±[7].但扣球点必须在球网右边，即a>5，∴a=4-[7]舍去，由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，∴5

【点评】第（1）问求出函数图像与y轴的交点坐标即可得到结果.第（2）问先求乙恰好扣中的情况，由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，说明乙站到了恰好扣中的那个点和网之间.在利用二次函数解决生活实际问题时，如果题中未给出平面直角坐标系，还需要根据实际情况建立合适的坐标系再进行解答.

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区实验初级中学）