复数高考考点解读

王璐��

摘要：通过梳理2016年全国各省对复数的考查内容，结合考试大纲，对考点内容进行知识点深挖.由于高考中复数考题的难度非常低，是考生最易得分的题目，所以复数复习的方向应为重视基础，不作过多补充和延伸，尽量避免繁琐的计算和技巧的训练.

关键词：复数；高考题；知识点深挖

一、 复数的有关概念

1. 定义

例1（2016年江苏卷）复数z=（1+2i）（3-i），其中i为虚数单位，则z的实部是.

解：复数z=（1+2i）（3-i）=5+5i，则复数z的实部是5.

知识点深挖：形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部，i为虚数单位.在这里应注意b称为虚部而不是虚部系数.由实部和虚部是否为零，又进一步对复数进行了分类：1. b=0a+bi为实数；2. b≠0a+bi为虚数；3. a=0且b≠0a+bi为纯虚数.由此可以看出实数集是复数集的子集.

2. 复数相等的充要条件

例2（2016年天津卷）已知a，b∈R，i是虚数单位.若（1+i）（1-bi）=a，则ab的值为.

解：由（1+i）（1-bi）=（1+b）+（1-b）i=a且a，b∈R，可知1-b=0，则b=1.又a=1+b=1+1=2.则ab=21=2.

知识点深挖：两个复数a+bi，c+di相等的充要条件实际上就是两个复数相等的定义.即a+bi=c+dia=c且b=d（a，b，c，d∈R）.还应强调，这里不仅给出了判断两个复数是否相等的依据，同时给出了求复数值的依据.利用复数相等的条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等，可得到关于实数的方程或方程组，通过解方程或方程组得到a，b的值.需要特殊说明的是，通常情况下两个复数只能探讨是否相等，而不能比较大小.当然，如果两个复数都是实数，可以比较大小，如果不是，则不能比较.其原因是无论怎样定义两个复数之间的一个关系，都不能使这种关系同时满足实数大小关系的以下四条性质：

①对于任意实数a，b，a

②如果a

③如果a

④如果a

3. 共轭复数

例3（2016年山东卷）若复数z满足2z+z=3-2i，其中i为虚数单位，则z=（）

A. 1+2i

B. 1-2i

C. -1+2iD. -1-2i

解：设z=a+bi（a，b∈R），则z=a-bi.

则2z+z=2（a+bi）+（a-bi）=3a+bi=3-2i.

可知3a=3b=-2，解得a=1b=-2，则z=1-2i.故选B.

知识点深挖：a+bi与c+di共轭a=c，b=-d（a，b，c，d∈R）.从代数形式上看为实部相等，虚部互为相反数；从几何意义上看，互为共轭的两个复数在复平面关于x轴对称.关于共轭复数运算的几个重要结论：①|z|=|z|，即|a+bi|=|a-bi|；②z+z=2a；③z-z=2bi；④zz=|z|2=|z|2=a2+b2.

4. 复数的模

例4（2016年全国Ⅰ卷）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）

A. 1B. 2

C. 3D. 2

解：由（1+i）x=x+xi=1+yi，可知x=y=1.則|x+yi|=|1+i|=12+12=2.

知识点深挖：复数z=a+bi的模为向量OZ的模，用|a+bi|或|z|来表示，运算法则为|z|=|a+bi|=a2+b2（a，b∈R）.其几何意义为复平面上一点（a，b）到原点的距离.关于复数的模的重要结论：①|z1z2|=|z1|·|z2|；②||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

二、 复数的几何意义

例5（2016年全国Ⅱ卷）已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）

A. （-3，1）

B. （-1，3）

C. （1，+

SymboleB@ ）

D. （-

SymboleB@ ，-3）

解：由z=（m+3）+（m-1）i可知，复数z在复平面内对应的点的坐标为（m+3，m-1）.由题意，复数z在复平面内对应的点在第四象限，则有m+3>0m-1<0，解得-3

知识点深挖：复数的几何意义为：复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）及平面向量OZ=（a，b）（a，b∈R）是一一对应关系.值得注意的几个问题：1. 引入复平面时不过多强调复平面与普通坐标平面的区别.只需说明x轴为实轴，y轴为虚轴.实轴上的点为实数，虚轴上除原点外都表示虚数；2. 复数z=a+bi用复平面内的点Z（a，b）表示，而不是（a，bi）.说明复平面的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i；3. 复数的运算、性质以及应用可在复平面内借助向量方法来研究.

三、 复数代数形式的四则运算

例6（2016年全国Ⅲ卷）若z=1+2i，则4izz-1=（）

A. 1B. -1

C. iD. -i

解：由z=1+2i可知，4izz-1=4i（1+2i）（1-2i）-1=4i-4i2=i，故选C.

知识点深挖：运算法则：设z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，d∈R.

（1） z1±z2=（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i.在复数加法法则中需要注意1. 当b=0，d=0时，复数加法法则与实数加法法则一致；2. 实数加法的交换律、结合律在复数集中仍然成立.

（2） z1·z2=（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i.在复数乘法法则中需要注意1. 复数代数形式的乘法运算法则是直接规定的，可按照多项式相乘类似的办法进行运算，不必强化记忆公式；2. 复数的乘法运算满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律.

（3） z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i（c+di≠0）.在进行复数的除法运算时，如果每次都按做乘法的逆运算求商，过程十分麻烦.可类比根式除法，将分子分母同乘分母的共轭复数，使分母“实数化”进而简便计算.