浅谈辅助函数在初等数学解题中的应用

辛小刚

摘 要：通过构造辅助函数对初等数学中出现的分解因式、证明整除性问题、确定参数的取值范围以及解方程与方程解的个数讨论等四类一般问题给予巧妙解答或证明。

关键词：辅助问题；辅助函数；解题

在解决数学问题的过程中，人们往往会碰到各种各样的障碍，不能简洁地给出答案。数学教育家G.波利亚指出：“人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他就会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题”。构造辅助的问题，并不是只是为了它本身，而是要通过辅助问题来帮助我们解决原来的问题，这才是我们要达到的目的，而辅助问题就只是我们用来达到目的的手段，是将原来的问题转化的桥梁。

辅助函数是数学解题中构造的辅助问题中的一种，它是在数学问题提供的信息的基础上构造的函数，然后再利用这个函数的特性来进行求解。构造辅助函数，就是把原来的数学问题转化成容易解决的辅助函数问题，其解题过程是：

数学问题M辅助问题G解决F解决M

全面把握数学问题所提供的信息：即问题本身的特点、背景、需要以及与其他问题之间的联系，运用基本的数学思想，通过认真地观察，深入地思考，然后构造出辅助函数，这是解题的关键。这个构造过程是一个从特殊到一般的过程。反过来，运用辅助函数返回去解决原来的数学问题又是一个从一般到特殊的过程。

利用辅助问题解决数学问题，也表明不少数学问题从一般化入手更容易得到解决。“一般”比“特殊”更为深刻地反映着事物的本质，启发我们从普通的联系中去发现规律和解题的途径。

在初等数学问题中，有不少问题是用构造辅助函数的方法求解的，我们通过对一些典型命题在证明中构造的辅助函数，讨论构造辅助函数的一些技巧。

一、 分解因式

【例5】和【例6】把题目中已知的条件或者要证结论重新组合成一种新的关系，即构造辅助函数，然后借助函数图象的直观性以及相关性，将抽象或隐含的条件清晰化，从而化难为易，解决问题。

构造辅助函数可沿以下两条思路去思考：一是如果考查的问题有明显的几何意义，那可凭借几何直观引出必然联系来构造函数；二是通过恒等变形，将原问题转化成等价的更加简洁的形式，从中找出必然联系，构造辅助函数，这种“执果索因”的方法比之前的方法更为广泛适用。

由于函数的内涵极为丰富，蕴含着许多数学思想，因而用辅助函数将问题转为函数问题，借助函数思想方法来解决这些问题有很大的应用空间，通过引进辅助函数还可以解决其他大量相关的数学问题。辅助函数解题法是解题的一个常用且十分有效的方法，只要我们用心分析各类数学问题与函数的直接或間接联系，大胆联想、猜测、推理，然后利用转化运动的观点，就可构造出合适的辅助函数，创造出巧妙简捷的解题方法。

参考文献：

[1]马振民.数学分析的方法与技巧选讲[M].兰州：兰州大学出版社，1999.

[2]孙倬旺.导数的应用[M].哈尔滨：黑龙江科学技术出版社，1989.

[3]敖弼通.关于构造辅助函数的意义和技巧[J].内蒙古学院学报，1995.