深入挖掘教材 探究椭圆定义

2017-12-05 07:12王丙森
黑龙江教育·中学 2017年11期
关键词:定点椭圆习题

王丙森

人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》(A版)选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”第2.2节“椭圆”给出了椭圆的定义:平面内与两个定点的距离和等于常数(常数大于两定点间距离)的点的轨迹叫做椭圆.通过研究教材笔者发现,在教材中还隐藏着一些椭圆的其他定义方法,值得我们去发现和发掘.

定义1:如图1,教材中通过探究固定两点,用绳画椭圆的方法给出椭圆第一定义:平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数(常数大于│F1F2│)的点的轨迹叫做椭圆.定点F1,F2叫做椭圆的焦点,焦点的距离│F1F2│叫做椭圆的焦距.

定义2:如图2,教材P47例6和教材P50“信息技术应用”部分“用几何画板探究点的轨迹”给出了椭圆第二定义:若点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到直线l:x=■的距离的比是常数■(a>c>0),则点M的轨迹是椭圆.定点F(c,0)是椭圆的一个焦点,直线l:x=■称为相应于焦点的准线.

定义3:如图3,在教材P42“探究与发现”部分阅读材料“为什么截口是椭圆”中,给出了椭圆的截面定义:用一个不与圆锥底面平行的平面去截一个圆锥,若截口是封闭的曲线则为椭圆,这也解释了为什么圆、椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线,书中用数学家旦德林的方法给予了证明,使椭圆的第一定义与椭圆的截面定义完美结合.

定义4:如图4,由教材P41例2能得到椭圆的压缩定义:椭圆可以由圆上的点“均匀压缩”得到,这体现了圆与椭圆的关系.

定义5:如图5,通过教材P41例3可得出椭圆的斜率定义:设点A(-a,0),B(a,0),直线AM、BM相交于点M,且它们斜率之积是-■,则动点M的轨迹方程是■+■=1(x≠±a).

定义6:如图6,教材P49习题2的2B组可由直线相交得到椭圆:作一个矩形长为2a,宽为2b,如图建系,若在线段OF上任取点R,在CF上取点R',满足■=■,则直线ER和GR'的交点L的轨迹为椭圆的一部分,其方程为■+■=1(x≥0,y≥0).

定义7:教材P49习题2的2A组:若点M(x,y)在运动变化过程中总满足■+■=10,则点M的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程.

方程可以看成一个动点到两个定点的距离和为定值的点的轨迹,且距离之和大于两个定点间距离,所以点M的轨迹是椭圆,方程为■+■=1.

通过此习题推广到一般,可得到椭圆第一定义的等价式:

│MF1│+│MF2│=2a(M(x,y),定点F1(0,C), F2(0,-C), 2a>│F1F2│),

?圳■+■=2a

?圳■+■=1(b2=a2-c2).

由此可以得到椭圆的文字语言、几何语言和数学符号语言,使代數与几何图形完美地结合,体现了解析几何的基本思想:利用条件建立曲线的方程,通过方程研究曲线的性质,同一种曲线可以有不同的产生和形式.

定义8:如图7,教材P49习题2的2A组:圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q 的轨迹是什么?为什么?点Q的轨迹是椭圆,根据条件可得│QO│+│QA│=r(r>OA),所以由椭圆的定义:点Q的轨迹是椭圆.

由上述对教材中椭圆定义的探究和发掘,可知教材的重要性,并得到以下启示:

1.教师教学要立足于教材

高中数学知识有很强的系统性,从教材目录开始,到每一章的全部内容,再到每个知识点的引入、定义的产生、公式的形成,教材中都有完整的展示.教师要准确地把握教材,体会教材的编写意图,掌握教材的整体框架,让学生在教材中学习数学知识的系统性和逻辑性,掌握数学思想和数学方法,清楚数学的本质.

2.教师要超越教材

在人教版《数学》教材中,每一节都设置有“观察”“探究”“思考”“课后阅读”“例题”“习题”,教师要学会优化教材结构,对教材进行创造性的整合和加工,将教材变成学生易于接受的数学知识.对例题、习题进行适当变式,培养学生思维的发散性和灵活性.

3.教师要把握考点

高考考点在书中,课本是试题之源,试题在书外,教师要在掌握教材方法的基础上向外拓展,提高学生的数学能力,使其顺利解答各种题目.教师要深入挖掘教材和高考的关系,让学生从书山题海中解脱出来,使学生的数学逻辑思维水平得到真正的提高.

总之,教材是知识的载体,教师的教学内容来源于教材,同时又要高于教材.教材是高考命题之本,教师要学会对教材进行挖掘和整合,学会全面审视教材,理解和掌握数学的本质,通过教材激发学生学习数学的兴趣,为学生提供丰富的数学思想和方法,培养学生学好数学,用好数学的意识.endprint

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